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LSQR算法读书笔记现有以下方程组：即m个方程，n个未知数1欠定问题以前遇到的情况经常是m＜n，不会出现无解的情况。当rank（A）=n时，方程有唯一解当rank（A）＜n时，方程有无穷多个解，基础解系有n-rank（A）个，表示为2超定问题现在遇到的情况是m＞n，会出现不相容的情况，所以只能求最小二乘解。最小二乘解不一定是唯一的，最小范数的最小二乘解xLS是唯一的（秩亏情况）只有当rank（A）=n时，最小二乘解是唯一的，就等于xLS（满秩情况）病态问题可以是超定也可以欠定的3最小二乘解的扰动分析条件数，病态等（P200）[1]4Householder变换Householder变换是形如H=I−2ωωT的n阶实方阵，其中ω∈Rn，且||ω||2=1，有时亦称这样的矩阵为Household矩阵或镜像变换。定理1定理2定理2告诉我们，对于任意非零n维向量x，可构造H，使x的后n-1个分量变为0.构造步骤P66[1]。5Givens变换[2]平面旋转变换6QR分解7Lanczos迭代进行三对角化（戈卢布_矩阵计算P549）假定A为大型、稀疏的对称矩阵。矩阵A通过矩阵Q（QTAQ=T）进行三对角化得到T且Q为正交阵。Lanczos迭代算法如下：8LSQR算法的基础矩阵A进行双对角分解，A=UBVT，其中逐列对比，得迭代关系式或再设[3]9正规方程组（法方程组normalequation）使用正规方程组的方法实现最小二乘：1、方程组Ax=b，其中A为m行n列的系数矩阵，其转置矩阵为n行m列的矩阵，使A的转置矩阵和A自身相乘可得到一个ｎ行ｎ列的系数矩阵，同时等号右侧也让A的转置矩阵和n维的向量b相乘，从而得到一个同解的新的方程组，假设新的方程组表示为AT*A*x=AT*b。2、得到的新的方程组可使用楚列斯基分解的方法求解。首先，使用楚列斯基分解将新方程组的系数矩阵A_T*A分解为一个下三角矩阵和其转置矩阵的乘积，然后依次利用前代和回代的方法，即可求解出新的方程组的解。3、由于转换后得到的新方程组与原方程组同解，所以得到的解即为最终所求解。共轭梯度（CG）算法、最小二乘共轭梯度（LSCG）算法都要求矩阵A是对称的，所以一般考虑原方程组的正规方程组的求解。而LSQR可以考虑A为非对称的情况，所以直接考虑原方程的求解。参考文献[1]徐树方.矩阵计算的理论与方法[M].北京大学出版社,1995.[2]徐云鹏.矩阵论[M].西北工业大学出版社,2000.[3]谭茂金,邹友龙.(T2,D)二维核磁共振测井混合反演方法与参数影响分析[J].地球物理学报,2012,55(2):683-692.