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1第五章表象理论初步“一个人永远不应该在知道一句话的结尾以前就开始说这句话。”——狄拉克量子力学的三个创立者：狄拉克、海森堡与薛定谔25.1表象理论研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论。微观粒子体系的状态(量子态)和力学量的具体表示形式成为表象。3按照量子力学的理论，微观粒子的运动状态用波函数ψ表示，波函数ψ可以看作是HilbertSpace中的一个矢量，波函数ψ随时间的演化满足薛定谔方程：力学量用算符表示，算符可以把HilbertSpace中的一个矢量映射到另外一个矢量：tiHHA,,4算符的本征方程，本征值λ既可以是分立值，也可以是连续值，记作λn；对应波函数的解记作，叫本征函数或本征矢。由本征方程可解出一组正交归一完备本征矢，满足：或(连续本征值)CA,AA}{nnmmn),()'(),('qqqqn以为基矢可以张开一个HilbertSpace，由的完备性知，任何波函数都可用的线性迭加表示：}{n}{nnnna),(,nna52na正是ψ所描写态中测量力学量A所得结果λn的几率，所以迭加系数：就是态矢ψ在A表象中的表示。)(na#6在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态ψ(可归一化)，可以看成抽象的Hilber空间中的一个“矢量”。体系的任何一组力学量完全集F的共同本征态ψk(k代表一组完备的量子数)，可以用来构成此态空间的一组正交归一完备的基矢(称为F表象)，(ψk,ψj)=δkj体系的任何一个态ψ可以用它们展开kkka),(kka7这一组数(a1,a2,...)就是态ψ在F表象中的表示，它们分别是ψ与各基矢的标积。(1)这里的“矢量”(量子态)一般是复量(2)空间维数可以是无穷，有时甚至是不可数(连续谱情况)8一、态的矩阵表示我们可把任何态矢ψ表示为一个列矩阵的形式：21aaψ的共轭矩阵可表示为一个行矩阵：),,,(*3*2*1aaa波函数的归一性可表示为：1),(12nna#9二、算符的矩阵表示算符也可以表示为矩阵的形式，在A表象中，任意算符:FFH,A表象：nnnA可用正交归一完备本征矢展开}{nnnnammmbnnnmmmaFbnnmnnnnmnnnmnnnmmaFaFaFaFb),(),(),(表象中的表示。在是算符),(这里：矩阵元AFFFnmmn10#nnmnmaFb),(nmmnFF将表示成矩阵形式为.....................212221121121aaFFFFbbF也就是在F表象中的矩阵表示11mnnnnmnmmnAA),(),(可以证明算符在A表象中的表示是对角矩阵：A12三、矩阵的种类对角矩阵：单位矩阵：矩阵的复共轭：矩阵的转置：矩阵的厄密共轭：厄密矩阵：幺正矩阵：矩阵的迹（Trace）：mnmmnAAAIIAImnmn,nmmnAA~*nmmnAAmnmnAA1,AAIAAnnmASpA)()()()(,,BASpBAABBAABABSpkkkknnkknnknknnknm*)*(mnmnAA155.2表象变换量子力学问题可以在不同表象下进行求解，表象变换就是HilbertSpace中的“坐标变换”，在不同情况下使用不同表象可以使求解过程简化；假设有A表象，对应正交完备归一基矢为假设有B表象，对应正交完备归一基矢为，}{nmnnm),(},{),(16),(进行表示：}{可用表象中任一基失nnnnnnSSB系数就定义了变换矩阵S；变换矩阵S使基矢变换为基矢nS，}{n。}{#17一、算符的表象变换B),(表象中：),(AFFFBFFFAnmmn在表象中：在mnmnmnmmnnmnmmmnnnSFSSFSSFSFF),(),(),(*nnnS),(nmmnFF18如用FA代表算符在A表象中的表示，FB代表算符在B表象中的表示，算符的表象变换可记为：FFmnmnmnmmnnmnmmmnnnSFSSFSSFSFF),(),(),(*可以证明变换矩阵S是幺正矩阵：SFSFSSISSSSSSSSSSmnnmmnnmnmmmnnnA1B1*为：算符的表象变符的表象，即：)(),(),(),(#nnnS19二、态矢的表象变换nnnSSbaaSbaSSSbabBaAnnnnnnnnnnnBnnnA，所以：),(),(),(，),(系数：表象中：在波函数表象中：在波函数*cccccccc20三、幺正变换的性质幺正变换不改变算符的本征值：baSaFSaSSFSSbFSbFaaFAAABA幺正变换不改变矩阵的迹：)()()()(AAABABFSpSFSSpSFSSpFSpSFSFSFSFA1BSbaaSb，215.3S矩阵设是描述波函数随时间演化的算符，使系统由t=0的态演化到t=t时的态：)0,()(),(xtStxS代入薛定谔方程：0)0,())()(()0,()()(xtSHttSixtSHtiHti220)()(tSHttSi由：如不显含时间，解得：H)()(tHietS将算符在t=0附近展开：SnntHinS)(!1考虑能量表象：nnnnnnxaxxExH)()0,()()(；)()()()(!1)()(!1)()()0,()(),(xtiEeaxtiEmaxtHimaxtSaxtStxnnnnnmnmnnnmnmnnnnn0)0,())()(()0,()()(xtSHttSixtSHti23nnnnxtbtx)()(),(在能量表象中，是对角的，现在考虑在一般表象中的表示：考虑F表象，用算符的本征函数展开波函数ψ(x,t))0,()(),(xtStxn，)()0()()(xbSxtbnnnnnn两边同时乘并积分：)(xm)0()()0(),()(nnmnnnmnmbtSbStb2)()(tSmnwmn经过时间t后，系统由态演化到的几率是nmSSF}{n24狄拉克符号“符号法看来更能深入事物的本质，它可以使我们用简洁精炼的方式来表达物理规律”—狄拉克25在经典力学中，物理规律与选择什么样的坐标系无关；同样在量子力学中，运动规律与选择的表象无关。Dirac引入一套不涉及具体表象的符号系统来表示波函数和力学量，称为Dirac符号。在量子力学中，Dirac的符号系统简单、易于进行理论推演、物理含义明显，因此被广泛使用。261.左矢(bra)与右矢(ket)量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间，空间中的一个矢量(方向)一般为复量，用以标记一个量子态，用一个右矢表示。若要标志某个特殊的态，则在右矢内标上某种记号，如表示波函数ψ描述的状态。|27对于本征态，常用本征值(或相应的量子数)标在右矢内。表示动量本征态(本征值为p')；或表示能量本征态(本征值为En)；表示角动量的共同本征态；表示时刻t的波函数；这里，波函数的表示都未涉及具体的表象。PnnElm),(2zLLt28与相应，左矢表示共轭空间中的一个抽象态矢。例如是的共轭态矢||292.标积态矢与的标积记为若，则称与正交。若，则称为归一化态矢。*0130内积是任意两个波函数正交归一条件：(连续谱),(分立谱),*,)(''mnnm