M01数学模型概论.

蒋伟重庆交通大学数学与统计学院2015年11月数学模型MathematicalModel数学建模MathematicalModeling引言1.数学的重要性2.数学模型与数学建模4.怎么学习数学建模3.学习数学建模的重要性数学之所以有如此高的声誉，是因为它给予自然科学以某种程度的可靠性。——爱因斯坦一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。——马克思一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量。——拉奥数学的重要性：众所周知？数学的重要性：众所周知？E.E.DavidJr.:(NoticesofAMS,v31,n2,1984,P142)……现今被如此称颂的“高技术”本质上是数学技术。资深评估小组对美国数学科学的国际评估报告:(NSFReport,March1998)现如今的数学科学对科学的三个方面：观察、理论和模拟来说都是必不可少的。……数盲和文盲一样是极其有害的。•既要学好“算数学”,更要培养“用数学”的能力•利用计算机和数学软件,培养分析、思考能力•感受“用数学”的酸甜苦辣,激发学好数学的愿望数学的重要性：似是而非？不少同学（甚至社会）的反映：----无用----难学原因：很少用；用不好*在经济竞争中数学科学是必不可少的;现代数学：在理论上更抽象；在方法上更加综合；在应用上更为广泛。*数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用.*更重要的方面是数学的思维方式的确立.数学的重要性21世纪科技人才应具备的数学素质与能力数学运算能力逻辑推理能力数学建模能力数据处理能力空间想象能力抽象思维能力更新数学知识能力使用数学软件能力MathematicalModelandMathematicalModeling模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质。*对实体本身的模拟如:飞机形状进行模拟的模型飞机；*对实体某些属性的模拟如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机；*对实体某些属性的抽象如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象数学模型与数学建模任何一个模型仅为一个真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现.数学模型(E.A.Bendar定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。数学模型是现实世界的简化而本质的描述。是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述.治愈瘫痪死亡状态（可能）行动(人能控制)等待治疗例、大夫的决策问题可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定及治疗原则等.此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果.数学模型是思考的工具构造一个数学模型可帮助我们进行交流、获得理解、加强对所采取的行动及结果的预测能力，它应有助于思考过程.数学建模：创立一个数学模型的全过程是运用数学的思维方法、数学的语言去近似地刻画实际问题，并加以解决的全过程。数学建模方法是一种数学的思考方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具。例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药物的疗效，从而有效地指导临床用药.例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益.数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁。数学建模是20世纪80年代初进入我国大学的一门新课，其主要内容是通过众多的示例着重介绍如何将实际问题“翻译”成数学问题，以及数学求解的结果又如何“翻译”回到实际中去。课堂讲授需要简明的实际背景、合理的模型假设、有创意的模型构造及必要的模型检验，不会涉及太多的数学概念和繁琐的公式推导。数学知识数学技巧数学应用数学发现……应用数学数学技术数学实验……随机数学代数与几何微积分……数学美学数学哲学数学精神数学素质数学文化数学建模的重要性数学建模的重要性*工程技术人员应具备雄厚的数学基础和良好的数学素质,应用数学能力是必备的科研能力.*应用数学是所涉及到的纯数学和其它学科相互作用的一门学科应用数学的过程可概括为以下五个阶段：1.科学地识别和剖析问题；2.建立数学模型；3.对研究中所选择的模型求解数学问题；4.对有关计算提出算法和设计计算机程序；5.解释原问题的结论并评判这些结论。*建立数学模型是应用数学的关键而重要的一步.建议：去做！去实践！学着用，干中学！课程的特点：以介绍数学建模的一般方法为主线，着重训练运用数学知识建立数学模型的技能技巧，着重能力和相关素质的培养。理解数学知识的基础上，重点是数学方的掌握、数学思维的建立。数学与现实世界1.1从现实世界到数学模型1.2数学建模示例1.3数学建模的方法和步骤1.4数学模型的特点和分类数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁面对各类问题：当一个直径约为1000米的小行星正好在南极与南极洲大陆相撞,是否会产生灾难性的影响？1.世界的末日？2.如何控制喷泉的高度？如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？1从现实世界到数学模型3.怎样安排性急的游客？在大型游乐场里如何安排游客,让他们乐意等待，乐意花钱？数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律,做出必要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个数学结构.4.人的指纹是否惟一？现实世界数学世界建立数学模型推理演绎求解翻译为实际解答实际解答：如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤•作出简化假设（船速、水速为常数）；•用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；•用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；•求解得到数学解答（x=20,y=5）；•回答原问题（船速每小时20千米/小时）。数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践2数学建模示例•汽车刹车距离•椅子能在不平的地面上放稳吗？•商人安全过河问题•人口预测问题例1汽车刹车距离问题：汽车行驶前方出现突发事件紧急刹车；车速越快，刹车距离越长；刹车距离与车速之间是什么关系？(线性、)刹车距离：从司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车行驶的距离。2040608010012014005010015020020406080100120140050100150200v20406080100120140d6.517.833.657.183.4118.0153.5实验数据：车速v(km/h)与刹车距离d(m)例1汽车刹车距离d与v不是线性关系问题分析制动力使汽车作匀减速运动常数刹车距离=反应距离+制动距离常数例1汽车刹车距离反应距离:“司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离制动距离反应距离反应时间车速司机状况制动系统灵活性制动器作用力车重、车速道路、气候…制动距离:“制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离假设与建模•刹车距离d=反应距离d1+制动距离d2•反应距离d1与车速v成正比：d1=k1v,•刹车使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变221vkvkdk1~反应时间•F使车作匀减速运动：F=maFd2=mv2/2akvkd2/1,2222例1汽车刹车距离参数估计v(km/h)20406080100120140实际距离d(m)6.517.833.657.183.4118.0153.5例1汽车刹车距离反应时间为k10.65s刹车时的减速度a=1/2k26m/s2221vkvkd模型计算距离d(m)6.2617.7834.5656.6183.92116.49154.33用实验数据对k1,k2作拟合:k1=0.6522，k2=0.0853例2椅子能在不平的地面上放稳吗？问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地•四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;•地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;•地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来•椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性D´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置•四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性xBADCO用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意，f()，g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，f(/2)=0，g(/2)0.令h()=f()–g()，则h(0)0和h(/2)0.由f，g的连续性知h为连续函数，据连续函数的基本性质，必存在0，使h(0)=0，即f(0)=g(0).因为f()•g()=0，所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定例3商人安全过河问题问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u,v)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110•穷举法~编程上机•图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}讨论：1、商人过河问题的进一步思考：(1)若船的情况不变，则2名商人2个随从如何安全渡河？(2)m名商人m个随从(m≥4)能否安全渡河？(3)一般地，m个商人n个随从，mn能否安全渡河？若能，怎样渡河？在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？2、探索（1）阿拉伯夫妻过河问题有三对阿拉伯夫妻要过河，船最多可载两人。约束条件是根据阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在场的情况下与另外男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河?四对夫妻呢？（2）人、狗、鸡、米过河问题某人要带一条狗、一只鸡、一箩米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米。问此人应