M372650混沌演化控制实验仪说明书

XIHUAYIM372650新型混沌演化控制实验仪使用说明书西化仪（北京）科技有限公司北京中西远大科技有限公司地址：北京西直门南大街2号B16E邮编：100035电话：[phone]传真：[phone]新型Coullet系统混沌演化和控制实验仪介绍本仪器通过调节电位器改变Coullet系统的参数，不仅可在示波器上观察Coullet系统各种稳定的周期状态的相图和时域图；定量计算出相应的系统参数，与理论值进行比较；还可通过切换开关将控制器加在Coullet混沌系统上，对Coullet系统施加控制，控制系统从混沌状态变到稳定的周期状态。同样可以通过测量各种稳定的周期状态对应的电阻参数，定量计算出相应的反馈控制参数。该实验仪器的混沌演化过程内容丰富，物理意义明确，实验结果可与理论分析对比，有助于在学生中普及混沌知识，加深学生对混沌现象及其演化过程的感性认识。(与此实验相应的研究论文发表在《物理学报》2005年第8期上)（a）P=1(b)P=2(c)P=3(d)P=4（e）P=5(f)P=6(g)对称P=2(h)单涡卷混沌附：系统随参数3a变化的相图Coullet新型混沌演化控制实验仪面板2参考讲义：Coullet混沌系统的演化和控制实验混沌理论与量子理论和相对论并称为二十世纪物理学三大突破性理论。混沌理论揭示了自然界中一类确定性系统的不确定行为，是对牛顿确定性理论的重大突破。人们对混沌现象的认识和研究始于二十世纪六十年代，随即渗透到数学、物理、生物、电子、气象、信息等各个学科，引起了人们的极大兴趣和广泛关注，成为非线性科学研究的热点。混沌是非线性系统表现出的类随机性，广泛存在于自然界中，由著名的LORENZ系统引出的“蝴蝶效应”就说明了天气预报不可能长期预测；Logistic系统和Henon系统分别揭示了生物竞争和天体演化中的混沌行为；Coullet系统就是描述三维流体中湍流发生机制的简化模型。因此对混沌现象的认识和研究，具有十分重要的实际意义。我们根据Coullet系统设计了混沌演化和控制的实验，通过实验，了解混沌系统从周期状态演化到混沌状态的分岔过程，从而理解混沌系统外在无序表象下的内在规律性；通过对混沌系统的控制，理解混沌系统仍然是可以控制并加以利用的。[实验目的]1.观察Coullet系统产生混沌的演化过程。2.测量Coullet系统各个稳定周期状态以及混沌状态对应的参数值。3.测量Coullet系统各个稳定周期状态的周期。4.研究Coullet系统的控制过程[实验原理]1.Coullet系统的特性及分岔过程Coullet系统是一个典型的三阶自治立方非线性混沌系统，其方程为034321xaxaxaxax（1）通过变量代换，令23121,,xxxxxx，式（1）可表示为下列方程组31413223133221xaxaxaxaxxxxx(2)系统具有如下特性：1）系统具有奇对称性且满足),,(),,(321321xxxxxx的变换不变性。2）系统有三个平衡点，分别为0P（0，0，0）、P（43aa，0，0）。由式(2)得到系统的Jacobian矩阵为：31221433100010aaxaaJ（3）通过改变系统的参数，Coullet系统历经一系列分岔过程从稳定的周期状态到达混沌状态。例如，仅改变3a，其它参数保持不变，根据系统的稳定性理论，系统处于稳定状态时，系统特征方程的所有特征根应具有负实部，即)3,2,1(,0)Re(ii。对于平衡点0P，由式(3)得到特征方程为0)(32213aaaf(4)当满足0,0,0,0321321aaaaaa时，系统稳定在平衡点0P处，由此可得参数3a的取值范围为2130aaa。可见，当03a时，平衡点0P不会稳定。同理可对平衡点P进行分析，当20213aaa时，系统稳定在平衡点P处;对于系统在平衡点P处稳定的一周期态，可设系统的特征方程具有一对共轭虚根为i2,1，代入式(4)得到当22213,2aaaa时，系统在平衡点P处的一周期态稳定。稳定的一周期态的周期2122aT。图1为系统参数1,1.1,45.0421aaa保持不变，系统随参数3a变化的分岔图。图1.系统随参数3a变化的分岔图当1,81.0,1.1,45.04321aaaa时，系统处于混沌状态。Coullet系统的Jacobian矩阵在平衡点0P处的特征值：5097.01111r，ii1657.14799.0111113,12；在P处4的特征值：9906.02121r，ii2500.12703.0212123,22。系统的三平衡点都是不稳定的鞍焦点，且都满足011jjr，011jjr，)2,1(j。所以混沌系统是双细胞奇异吸引子，相图具有双涡卷特征。系统的Jacobian矩阵在平衡点0P处的特征值满足0,01111r，01111r，根据Shil’nikov方法，说明系统存在Smale马蹄映射意义上的混沌。如图2所示。图2.Coullet系统的双涡卷混沌相图2.Coullet系统的控制：对Coullet系统实施形如11xx的非线性反馈控制，在控制作用下系统方程为3141322313321121xaxaxaxaxxxxkxxx(5)式中k为非线性反馈控制增益，1,81.0,1.1,45.04321aaaa系统处于混沌状态。理论分析表明，反馈控制增益k必须取负值，才可能使系统从混沌状态控制到稳定的周期状态。因此该非线性反馈控制属于负反馈控制，适当调整反馈控制增益k的值，即可将Coullet混沌系统控制到稳定的一周期和二周期状态。[实验仪器]本实验采用Coullet混沌系统演化及控制实验仪。该仪器具备以下两项功能：1.观察和测量Coullet系统从各种稳定的周期状态到混沌状态演变过程；2.对Coullet混沌系统实行有效控制。仪器设计框图如图3所示。图3设计框图Coullet混沌系统示波器切换开关控制器电位器调节R1电位器调节R25对Coullet系统不施加控制时，通过调节电位器R1改变Coullet系统的参数，可在示波器上观察Coullet系统各种稳定的周期状态的相图和时域图；并可通过仪器上的电阻测量仪表测量与各种稳定的周期状态对应的电阻值，计算出相应的系统参数，与理论值进行比较；也可以通过示波器和频率计测量各种稳定的周期状态的周期值，与理论值比较，对Coullet系统的倍周期分岔过程进行验证。当Coullet系统处于混沌状态时，通过切换开关将控制器加在Coullet混沌系统上，对Coullet系统施加控制，通过调节电位器R2改变反馈控制参数，控制系统从混沌状态逐步演变到稳定的周期状态。同样可以通过仪器上的电阻测量仪表测量与各种稳定的周期状态对应的电阻值，计算出相应的反馈控制参数。根据式（2）和式（5）设计的Coullet系统和控制Coullet系统的电路框图如图4所示。图4Coullet系统及控制电路图[实验内容]1.Coullet系统演化实验在进行Coullet系统演化实验时，通过调节可变电阻1R使系统参数3a变化，由电路设计可知，计算系统参数3a的公式为103RRa(6)式中固定电阻kR2.80。因此，只要测量出Coullet系统各种稳定的周期状态所对应的电阻值，就可计算出相应的系统参数，并可与理论值进行比较。对电路进行归一化处理后，系统稳定周期态的周期的计算公式:212aRCRCTT(7)式中R，C分别为电路中积分器的电阻值和电容值，当pFCkR500,100，系统参数1.12a6时，由式(7)计算出系统稳定一周期态的周期理论值为41000.3秒（这点可在出现稳定一周期态时用频率计实测出来）。对系统各种稳定周期态的周期值，我们可通过示波器进行观察并读出来。由Coullet系统的理论，通过研究我们知道该系统随着参数3a减小(即R1的逐步减小)，应逐步发生从少到多的倍周期分岔，最后到达混沌状态。这一结论我们可根据示波器显示的图像，测量在各个倍周期分岔阶段的R1电阻值，将测量的结果填入下面的表一中来加以验证和研究。2.Coullet系统控制实验在Coullet系统处于混沌状态时，将控制器开关合上，即可对混沌系统实施控制。调节可变电阻2R使反馈控制增益k改变，由电路设计可知，计算反馈控制增益k的公式为20RRk(6)式中固定电阻0R取5ＫΩ，因此，只要测量出将Coullet系统控制到各种稳定的周期状态所对应的R2电阻值，就可计算出控制增益k的值。随着调节可变电阻2R的逐渐增大，反馈控制增益k的绝对值逐步减小，对混沌系统的控制逐步减弱，系统的稳态周期数预期将逐步增大最后又重新进入混沌状态。这一规律我们可通过观察R2的阻值从小变大时示波器显示图像的变化过程来进行验证。将相关的测量和观察数据填入表二中进行分析研究。3.系统的稳定性和可重复性研究Coullet系统的各稳定周期态是具有重复性的。即一旦由于把可变电阻从电路中撤出等原因使原混沌状态被破坏，把可变电阻回复到原电路中后，稍加调整使系统又回到原来的稳定周期态时，电路的各系统参数或控制参数基本保持不变。此过程可在测量可变电阻时，根据切换开关前后的电路表现情况进行观察研究。[实验测量结果]表一Coullet系统演变过程系统状态周期实测值(mS)可调电阻R1范围(KΩ)系统参数3a的范围一周期3011.01R3a二周期1R3a7三周期1R3a四周期1R3a单涡卷混沌1R3a双涡卷混沌1R3a实验结论或讨论：（由实验学生自己根据实验结果写出）表二Coullet系统控制过程系统状态周期值可调电阻2R范围(KΩ)控制增益k范围一周期2R__________k二周期2R__________k三周期2R__________k四周期2R__________k实验结论或讨论：（由实验学生自己根据实验结果写出）[实验操作注意事项]1.在做Coullet系统演化实验时，必须把控制器开关放在“撤除”位置，而做控制实验时才可把控制器开关放到“控制”位置。2.仪器面板上的R1和R2两个电阻的转换开关是用于把相应的电阻从电路中分离出来进行测量用的。当某一转换开关拨到“测电阻”位置时，该被测电阻就从电路中脱离开，这时原电路处于暂时的停顿状态。电阻测量完成后，必须拨动转换开关把该电阻接回到原系统中去，原系统才能恢复到测量前的状态。(若系统有时不能恢复到测量前的状态，可以短暂在把控制器开关拨到“控制”位置再返回“撤除”位轩，就可让系统恢复到测量前的状态。)3.由于混沌是一种受初始参数影响极大的物理现象，故系统的参数电阻R1或控制电阻R2的极少量改变都会明显影响到示波器显示的混沌相图。因此即使同一台仪器每次出现相同的相图时所对应的参数电阻R1或控制电阻R2的数值都很难保证完全相同，但在做混沌演化实验或控制实验时，随着参数电阻R1或控制电阻R2的变化，混沌的相图按周期数递增（或递减）的规律仍然是成立的。本实验主要是研究这一规律。