Maple理论力学

1.如图1所示一质量为m、半径为r的圆柱铁桶，在半径为R的圆弧上作无滑动的滚动。求圆柱铁桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率。解：●建模系统受主动力：mg,F1,F2。圆桶运动为定轴转动。●Maple程序resart:#清零J[O1]:=1/2*m*r^2:#圆桶的转动惯量v[O1]:=(R-r)*Dtheta:#圆桶中心O1线的速度vo1omega:=(R-r)*Dtheta/r:#作纯滚动角速度ωT:=1/2*m*v[O1]^2+1/2*J[O1]*omega^2:#系统的动能V:=m*g*(R-r)*(1-cos(theta)):#系统的势能V:=subs(cos(theta)=1-1/2*theta^2,V):#微动时，势能theta:=A*sin(omega0*t+beta):#θ的变化规律Dtheta:=diff(theta,t):#θ的导数Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T):#系统的最大动能Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V):#系统的最大势能eq:=Tmax=Vmax:#机械能守恒solve({eq},{omega0});#解方程,{}()6r6Rg3r3R{}()6r6Rg3r3R答：圆桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率为RrgR336r6-0）（2.如图2所示弹簧质量系统，作水平方向的自由振动，求小车的固有频率。解：●建模系统受回复力：Kx。小车作自由振动。●Maple程序restart:#清零x:=A*sin(omega0*t+beta):#小车运动的变化规律Dx:=diff(x,t):#x的导数T:=1/2*m*(Dx)^2:#系统的动能V:=1/2*K*x^2:#系统的势能Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T):#系统的最大动能Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V):#系统的最大势能eq1:=Tmax=Vmax:#机械能守恒solve({eq1},{omega0});#解方程,{}mKm{}mKm答：小车在作往复运动的固有频率为mKm0。3.一个质量为m的物体在一根抗弯刚度为EJ﹑长为l的简支梁上作自由振动。若此物体在梁未变形的位置无初速度释放，求系统自由振动的频率。解：●建模系统受力：mg,F。物体作直线运动。●Maple程序restart:#清零eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-#Fxmx..k*(delta[st]+x):eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0:#移项eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx,#代换delta[st]=m*g/k,eq):eq:=expand(eq/m):#展开eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq);#代换:=eqDDx02x0X:=A*sin(omega[0]*t+beta):#系统的通解k:=m*g/delta[st]:#梁的刚度系数omega[0]:=sqrt(k/m):#固有频率omega[0]:=subs(delta[st]=(mgl^3)/(48*E*J),omega[0]);#代换:=048gEJmgl3答：系统自由振动的频率为:=048gEJmgl3。4.如图中4所示单自由度弹簧质量系统在，质量块质量为m，当质量块下拉弹簧处于平衡位置时，静变形为40mm。求此弹簧质量系统的振动规律。解：●建模系统受力：mg,回复力kx。物体作上下的自由振动运动。●Maple程序restart:#清零eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k*#Fxmx..(delta[st]+x):eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0:#移项eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx,#代换delta[st]=m*g/k,eq):eq:=expand(eq/m):#展开eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq):#代换X:=A*sin(omega[0]*t+beta):#系统通解k:=m*g/delta[st]:#弹簧刚度系数omega[0]:=sqrt(k/m):#固有频率x[0]:=-delta[st]:#初位移v[0]:=0:#初速度A:=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2):#振幅beta:=-Pi/2:#初相角delta[st]:=0.04:g:=9.8:#已知条件omega[0]:=eval(omega[0]):#已知条件A:=eval(A):#振幅数值X:=evalf(X,4);#系统振动规律:=X.04000()cos15.65t答：此弹簧质量系统的振动规律x=-0.04cos(15.65t)。5.龙门起重机设计中，为避免在连续启动制动过程中引起的振动，要求每一次由于启动过程中或制动过程中引起的振动的衰减时间不得过长。有如下规定：起重质量不大于50吨的龙门起重机，在纵向水平振动时，振幅衰减到最大振幅的5%所需的时间应在25~30秒的范围。如图5所示为一15吨的龙门起重机的示意图，在作纵向水平振动时，等效质量m=27.9kg.s2/cm。水平方向刚度K=2000kg/cm.有实测得到对数减幅=0.10.试计算衰减时间，问是否符合要求。解：●建模系统受力：mg,Fd。物体作上下的自由振动运动。●Maple程序restart:#清零T[d]:=((1/f*delta)*Lambda):#衰减时间Lambda:=ln(A[1]/A[j+1]):#对数缩减Lambda:=subs((A[1]#代换/A[j+1]=y,Lambda)):f:=(1/(2*Pi))*sqrt(K/m):#固有频率K:=2000:m:=27.9:#已知条件delta:=0.10:y:=100/5:f:=evalf(f,4);#固有频率数值:=f1.347T[d]:=evalf(T[d],4);#衰减时间:=Td.2224答：所求的时间为22.24s在所求区间内满足要求，所以是符合要求的。6.某精密设备用橡胶隔振器隔振，如图6所示。已知系统的固有频率为3.8Hz。橡胶隔振器的相对阻尼系数ζ=0.125。如地面振动的垂直分量是正弦振动，振幅为0.002mm,最大振动速度为0.1256m/s。试求设备的振幅。解：●建模设备受力：mg,Fe。设备作曲线运动。●Maple程序restart:#清零B:=a*sqrt(((1+(2*zeta*lambda)^2)#振幅/9(1-lambda^2)^2+(2*lambda*zeta)^2)):omega:=v/a:#地面振动频率p:=2*Pi*f:#系统振动频率lambda:=omega/p:#频率比v:=0.1256:a:=0.002:#已知条件f:=3.8:zeta:=0.125:B:=evalf(B,4);#垂直振幅数值:=B.001342答：此设备的振幅为1.342mm.7.一汽车在波形路面上行驶，其模型可以简化为如图7所示的图形。路面的波形可以用函数xldy2sin表示，其中振幅mmd50,波长ml8。汽车的质量kgm2500，弹簧的刚度系数为mkNk/300。忽略阻尼，求汽车以15m/s匀速前进时，车体的垂直振幅？解：●建模汽车受主动力：mg,Fe。汽车作曲线运动。●Maple程序restart:#清零x:=y*t:#汽车匀速行驶位移y[1]:=d*sin(2*Pi*x/l):#路面波形方程y[1]:=subs(v=(omaga*l)/(2*Pi),y[1]):#代换omega:=(2*Pi*v)/l:#位移激振频率omega0:=sqrt(k/m):#系统的固有频率s:=omega/omega0:#频率比etal:=sqrt(1/(1-s^2)^2):#位移传递率b:=etal*d:#车体垂直振幅k:=300000:m:=2500:l:=8:#已知条件d:=0.050:v:=15:#已知条件b:=evalf(b,4);#振幅数值:=b.3184答：车体的垂直振幅为31.84cm。8.一个均质的细杆质量为m,长为l,如图所示，两个刚度系数皆为k的弹簧对称的作用在轻质细杆上。试求该系统的固有频率和固有振型。解：●建模已平衡位置为原点，只考虑沿铅垂方向的位移，分别以弹簧的两个支点的位移X1，X2为系统的两个坐标。细杆受力mg,Fe1和Fe2。细杆作平面运动。●Maple程序restart:#清零J[C]:=m*l^2/12:#均值细杆绕质心的转动惯量F[1]:=k*x[1]:#弹簧恢复力Fe1F[2]:=k*x[2]:#弹簧恢复力Fe2x[C]:=(x[1]+x[2])/2:#细杆质心的坐标phi:=(x[1]-x[2])/d:#细杆绕质心的微小转动DDx[C]:=(DDx[1]+DDx[2])/2:#细杆质心加速度DDphi:=(DDx[1]-DDx[2])/d:#细杆绕质心微小角加速度eq1:=m*DDx[C]=-F[1]-F[2]:#细杆的平面运动微分方程一eq2:=J[C]*DDphi=-F[1]#细杆的平面运动微分方程二*d/2+F[2]*d/2:eq1:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0:#移项eq2:=lhs(eq2)-rhs(eq2)=0:#移项eq1:=expand(2*eq1/m):#展开eq2:=expand(d*eq2/J[C]):#展开eq1:=subs(k=m*b/2,eq1):#代换eq2:=subs(k=c*(m*l^2)/(6*d^2),eq2):#代换x[1]:=A*sin(omega*t+theta):#设解x[2]:=B*sin(omega*t+theta):#设解DDx[1]:=diff(x[1],t$2):#X1对t的二阶导DDx[2]:=diff(x[2],t$2):#X2对t的二阶导eq3:=simplify(eq1/sin(omega*t+theta)):#化简eq4:=simplify(eq2/sin(omega*t+theta)):#化简eq3:=subs(B=A*nu,eq3):#代换eq4:=subs(B=A*nu,eq4):#代换eq3:=expand(eq3/A):#展开eq4:=expand(eq4/A):#展开b:=2*k/m:#方程系数c:=(6*k*d^2)/(m*l^2):#方程系数solve({eq3,eq4},{nu,omega^2});#解方程,{},-126kd2ml2{},122km答：系统的固有频率mk21，2226mlkd，对称主振型1111AB和反对称主振型1-222AB。9.已知：vtll0，求如图10摆的运动方程。解：●建模小球作平面运动自由度f=1取广义坐标φ●Maple程序restart:#清零x[rho]:=l:#初始状态x[phi]:=l*phi:#角度为φ时的位移x[rho]:=subs(l=l(t),x[rho]):#代换x[phi]:=subs(phi=phi(t),x[phi]):#代换v[rho]:=diff(x[rho],t):#关于t的导数v[phi]:=diff(x[phi],t):#关于t的导数V:=vector([v[rho],v[phi]]):#表示为矢量v[A]:=sqrt(v[rho]^2+v[phi]^2):#任意点A速度大小T:=1/2*m*v[A]^2：#A点动能T:=subs(diff(phi(t),t)=Dphi,#代换phi(t)=phi,T):T:=