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回归分析1．多元线性回归在Matlab统计工具箱中使用命令regress()实现多元线性回归，调用格式为b=regress(y，x)或[b，bint，r，rint，statsl=regess(y，x，alpha)其中因变量数据向量y和自变量数据矩阵x按以下排列方式输入对一元线性回归，取k=1即可。alpha为显著性水平(缺省时设定为0.05)，输出向量b，bint为回归系数估计值和它们的置信区间，r，rint为残差及其置信区间，stats是用于检验回归模型的统计量，有三个数值，第一个是R2，其中R是相关系数，第二个是F统计量值，第三个是与统计量F对应的概率P，当Pα时拒绝H0，回归模型成立。画出残差及其置信区间，用命令rcoplot(r，rint)实例1：已知某湖八年来湖水中COD浓度实测值(y)与影响因素湖区工业产值(x1)、总人口数(x2)、捕鱼量(x3)、降水量(x4)资料，建立污染物y的水质分析模型。(1)输入数据x1=[1.376,1.375,1.387,1.401,1.412,1.428,1.445,1.477]x2=[0.450,0.475,0.485,0.500,0.535,0.545,0.550,0.575]x3=[2.170,2.554,2.676,2.713,2.823,3.088,3.122,3.262]x4=[0.8922,1.1610,0.5346,0.9589,1.0239,1.0499,1.1065,1.1387]y=[5.19,5.30,5.60，5.82，6.00,6.06，6.45，6.95](2)保存数据(以数据文件.mat形式保存，便于以后调用)savedatax1x2x3x4yloaddata(取出数据)(3)执行回归命令x=[ones(8,1)，]；[b，bint，r，rint，stats]=regress得结果：b=(-16.5283，15.7206，2.0327，-0.2106，-0.1991)’stats=(0.9908，80.9530，0.0022)即=-16.5283+15.7206xl+2.0327x2-0.2106x3+0.1991x4R2=0.9908，F=80.9530，P=0.00222．非线性回归非线性回归可由命令nlinfit来实现，调用格式为[beta,r,j]=nlinfit(x，y，'model’，beta0)其中，输人数据x，y分别为n×m矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量model是事先用m-文件定义的非线性函数，beta0是回归系数的初值，beta是估计出的回归系数，r是残差，j是Jacobian矩阵，它们是估计预测误差需要的数据。预测和预测误差估计用命令[y,delta]=nlpredci(’model’，x，beta,r,j)实例2：对实例1中COD浓度实测值(y)，建立时序预测模型，这里选用logistic模型。即(1)对所要拟合的非线性模型建立的m-文件mode1.m如下：functionyhat=model(beta,t)yhat=beta(1)．／(1+beta(2)*exp(-beta(3)*t))(2)输人数据t=1：8loaddatay(在data.mat中取出数据y)beta0=[50，10，1]’(3)求回归系数[beta,r,j]=nlinfit(t’,y’，’model’，beta0)得结果：beta=(56.1157，10.4006，0.0445)’即(4)预测及作图[yy，delta]=nlprodei(’model’，t’，beta,r，j)；plot(t，y，’k+’，t，yy,’r’)3．逐步回归逐步回归的命令是stepwise，它提供了一个交互式画面，通过此工具可以自由地选择变量，进行统计分析。调用格式为：stepwise(x，y，inmodel，alpha)其中x是自变量数据，y是因变量数据，分别为n×m和n×l矩阵，inmodel是矩阵的列数指标(缺省时为全部自变量)，alpha,为显著性水平(缺省时为0.5)结果产生三个图形窗口，在stepwiseplot窗口，虚线表示该变量的拟合系数与0无显著差异，实线表示有显著差异，红色线表示从模型中移去的变量；绿色线表明存在模型中的变量，点击一条会改变其状态。在stepwiseTable窗口中列出一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差(RMSE)，相关系数(R-square)，F值和P值。对不含常数项的一元回归模型，、都是向量，在MATLAB中进行回归分析的程序为：①b＝regress(y,x)②[b，bint，r,rint，stats]＝regress(y,x)③[b，bint，r,rint，stats]=regress(y,x，alpha)说明：b＝regress(y，x)返回基于观测y和回归矩阵x的最小二乘拟合系数的结果。[b，bint，r,rint，stats]＝regress(y,x)则给出系数的估计值b；系数估计值的置信度为95％的置信区间bint；残差r及各残差的置信区间rint;向量stats给出回归的R2统计量和F以及P值.[b，bint，r,rint，stats]＝regess(y，alpha)给出置信度为1-alpha的结果，其他符号意义同上.对含常数项的一元回归模型，可将变为矩阵，其中第一列全为1。结果说明：b为回归模型中的常数项及回归系数.Bint为各系数的95%置信区间.r和rint为对应每个实际值的残差和残差置信区间。Stats向量的值分别为拟合优度、F值和显著性概率p.所以，生产费用对产量的回归函数为：.，说明模型拟合程度相当高。[b,bint,r,rint,ststs]=regress(y,x,alpha)可用help查阅此命令的具体用法残差及置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图x=0.1:0.01:0.18;x=[x,0.2,0.21,0.23]';y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5]';X=[ones(12,1),x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,0.05);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)结果含义为β0=27.0269β1=140.6194β0的置信区间是[22.3226,31.7313]β1的置信区间是[111.7842,169.4546]tji01.m建模软件建模软件matlab鲜思东重庆邮电大学R2=0.9219F=118.0670,p10-4.R是衡量y与x的相关程度的指标,称为相关系数.R越大,x与y关系越密切.通常R大于0.9才认为相关关系成立.F是一统计指标,p是与F对应的概率,当p0.05时,回归模型成立.此例中p=010-40.05,所以,所得回归模型成立。观察所得残差分布图,看到第8个数据的残差置信区间不含零点,此点视为异常点,剔除后重新计算。此时键入：X(8,:)=[];y(8)=[];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)可以看到：置信区间缩小；R2、F变大，所以应采用修改后的结果。