MATLAB多元函数导数求极值或最优值

1实验六多元函数的极值【实验目的】1．多元函数偏导数的求法。2．多元函数自由极值的求法3．多元函数条件极值的求法.4．学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】求函数32824yxyxz的极值点和极值【实验准备】1．计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1.定义多元函数),(yxfz步骤2.求解正规方程0),(,0),(yxfyxfyx,得到驻点步骤3.对于每一个驻点),(00yx,求出二阶偏导数,,,22222yzCyxzBxzA步骤4.对于每一个驻点),(00yx,计算判别式2BAC,如果02BAC,则该驻点是极值点,当0A为极小值,0A为极大值;,如果02BAC,判别法失效,需进一步判断;如果02BAC,则该驻点不是极值点.2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值设函数),(yxfz在有界区域D上连续，则),(yxf在D上必定有最大值和最小值。求),(yxf在D上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1.计算),(yxf在D内所有驻点处的函数值；步骤2.计算),(yxf在D的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3.将上述各函数值进行比较，最终确定出在D内的最大值和最小值。3．函数求偏导数的MATLAB命令2MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。diff(f,x,n)求函数f关于自变量x的n阶导数。jacobian(f,x)求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。可以用helpdiff,helpjacobian查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1求函数32824yxyxz的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数clear;symsxy;z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;diff(z,x)diff(z,y)结果为ans=4*x^3-8*yans=-8*x+4*y即.48,843yxyzyxxz再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为：clear;[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：clear;symsxy;z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)结果为A=2*x^2B=-8C=4由判别法可知)2,4(P和)2,4(Q都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，)2,4(P和)2,4(Q是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。clear;x=-5:0.2:5;y=-5:0.2:5;[X,Y]=meshgrid(x,y);3Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3;mesh(X,Y,Z)xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')结果如图6.1图6.1函数曲面图可在图6.1种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.contour(X,Y,Z,600)xlabel('x'),ylabel('y')结果如图6.2图6.2等值线图由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点)2,4(P和)2,4(Q.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点)0,0(Q周围没有等高线环绕,不4是极值点,是鞍点.练习２求函数xyz在条件1yx下的极值..构造Lagrange函数)1(),(yxxyyxL求Lagrange函数的自由极值.先求L关于,,yx的一阶偏导数clear;symsxykl=x*y+k*(x+y-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,k)得,1,,yxLxyLyxL再解正规方程clear;symsxyk[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')得,21,21,21yx进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.练习3抛物面22yxz被平面1zyx截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数222),,(zyxzyxf在条件22yxz及1zyx下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数)1()(),,(22222zyxzyxzyxzyxL求Lagrange函数的自由极值.先求L关于,,,,zyx的一阶偏导数clear;symsxyzuvl=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)得zzLyyyLxxxL2,22,2251,22zyxLzyxL再解正规方程clear;[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0','x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')得.32,231,33117,3353zyx上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f在有界闭集}1,:),,{(22zyxzyxzyx，上连续，从而存在最大值与最小值），故由359.)32,231,231(f求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为359，最短距离为359。练习4求函数72422yxyxz在上半圆0,1622yyx上的最大值和最小值。首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB程序代码为：clear;x=-4:0.1:4;y=-4:0.1:4;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7;contour(X,Y,Z,100)xlabel('x'),ylabel('y')结果如图6.3-4-2024-4-2024xy图6.3等值线6观测图6.3可看出，在区域D内部有唯一的驻点，大约位于)1,2(在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于)2,4(。下面通过计算加以验证。求函数在区域D内的驻点，计算相应的函数值。求z关于x,y的偏导数clear;symsxy;z=x^2+y^2-4*x-2*y+7;diff(z,x)diff(z,y)结果得,22,42yyzxxz解正规方程clear;[x,y]=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y')得驻点为(2,1),相应的函数值为2。求函数在直线边界44,0xy上的最大值和最小值。将0y代入原函数，则二元函数变为一元函数.44,742xxxz首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为：x=-4:0.01:4;y=x.^2-4*x+7;plot(x,y);xlabel('x'),ylabel('z')结果如图6.4所示-4-3-2-1012340510152025303540xz图6.4函数图由图6.4可看出，当4x时函数取得最大值，2x时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导clear;symsx;z=x^2-4*x+7;diff(z,x)得42xdxdz，可知驻点为2x，而边界点为4x，计算着三个点上的函数值可得当4x时函数取得最大值39，2x时函数取得最小值3。求函数在圆弧边界线上0,1622yyx的最大值和最小值。此边界线可用参数方程ttytx0,sin4,cos47表示。则二元函数变为一元函数23sin8cos16ttz首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为：t=0:0.01*pi:pi;z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23;plot(t,z);xlabel('t'),ylabel('z')结果如图6.5所示00.511.522.533.5510152025303540tz图6.5函数图由图6.5可看出，当5.0t时函数取得最小值，x时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导clear;symst;z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23;diff(z,t)得ttdtdzcos8sin18,解正规方程clear;t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0','t')numeric(t)%求出t的数值得4636,021arctant，边界点为,0t，计算着三个点上的函数值可得当4636.0t时函数取得最小值0.5111，)0,4(,yxt时函数取得最小值39。综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2，在点(-4,0)处函数取得最大值39。【练习与思考】1.求1444xyyxz的极值，并对图形进行观测。2.求函数222,yxyxf在圆周122yx的最大值和最小值。3.在球面1222zyx求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。4.求函数zyxzyxf32),,(在平面1zyx与柱面122yx的交线上的最大值。5.求函数22yxz在三条直线1,1,1yxyx所围区域上的最大值和最小值。