MATLAB学习第6章MATLAB符号计算.

第6章MATLAB符号计算目录在工程、应用数学和科学上经常要用到符号计算功能。MATLAB开发商Mathwork公司以maple的内核为符号计算的引擎，依赖MAOLE已有的库函数，开发了在MATLAB环境下实现符号计算的工具箱SymbolicMathToolbox(符号数学工具箱)。6.1符号计算基础6.2符号导数及其应用6.3符号积分6.4级数6.5代数方程的符号求解6.6常微分方程的符号求解6.1符号计算基础目录符号数学工具箱是操作和解决符号表达式的版本号数学工具的集合，它包含复合、简化、微分、积分以及求代数方程和微分方程的工具。6.1.1符号对象1.建立符号变量和符号常数(1)sym函数sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym('a')建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。例6.1考察符号变量和数值变量的差别。在MATLAB命令窗口，输入命令：目录a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');%定义4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义4个数值变量A=[a,b;c,d]%建立符号矩阵AA=[a,b][c,d]det(B)%计算数值矩阵B的行列式B=[w,x;y,z]%建立数值矩阵BB=105-811ans=a*d-b*cdet(A)%计算符号矩阵A的行列式ans=150例6.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别。在MATLAB命令窗口，输入命令：pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3');%定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定义数值变量sin(pi1/3)%计算符号表达式值sin(pi2/3)%计算数值表达式值sqrt(k1)%计算符号表达式值sqrt(r1)%计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2))%计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2))%计算数值表达式值目录ans=1/2*3^(1/2)ans=0.8660ans=2*2^(1/2)ans=2.8284ans=(3+2^(1/2))^(1/2)ans=2.1010(2)syms函数syms函数的一般调用格式为：symsvar1var2…varn函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符(')，变量间用空格而不要用逗号分隔。目录2.建立符号表达式例6.3用两种方法建立符号表达式。在MATLAB窗口，输入命令：U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6')%定义符号表达式Usymsxy;%建立符号变量x、yV=3*x^2+5*y+2*x*y+6%定义符号表达式V2*U-V+6%求符号表达式的值U=3*x^2+5*y+2*x*y+6V=3*x^2+5*y+2*x*y+6ans=3*x^2+5*y+2*x*y+12例6.4计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。命令如下：symsabc;U=[a,b,c];A=[[1,1,1];U;U.^2]%建立范得蒙符号矩阵det(A)%计算A的行列式值目录A=[1,1,1][a,b,c][a^2,b^2,c^2]ans=b*c^2-c*b^2-a*c^2+a*b^2+a^2*c-a^2*bans=-(-c+b)*(a-c)*(a-b)factor(ans)例6.5建立x,y的一般二元函数。在MATLAB命令窗口，输入命令：symsxy;f=sym('f(x,y)');目录6.1.2基本的符号运算1.符号表达式运算(1)符号表达式的四则运算例6.6符号表达式的四则运算示例。在MATLAB命令窗口，输入命令：symsxyz;f=2*x+x^2*x-5*x+x^3%符号表达式的结果为最简形式f=2*x/(5*x)%符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y)%符号表达式的结果不是x^2-y^2，而是(x+y)*(x-y)目录f=-3*x+2*x^3f=2/5f=(x+y)*(x-y)(2)因式分解与展开factor(S)对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。expand(S)对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S)对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S,v)对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。目录例6.7对符号矩阵A的每个元素分解因式。命令如下：symsabxy;A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3];factor(A)%对A的每个元素分解因式目录ans=[2*a*b^3*x^2*(5*b^3*x^2-2*b*x+a),-x*(-3*y+5*x)][4,(a-b)*(a^2+b*a+b^2)]例6.8计算表达式S的值。命令如下：symsxy;s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);expand(s)%对s展开collect(s,x)%对s按变量x合并同类项(无同类项)factor(ans)%对ans分解因式ans=7*x^4-13*x^2*y^2-24*y^4ans=7*x^4-13*x^2*y^2-24*y^4ans=(8*y^2+7*x^2)*(x^2-3*y^2)(3)表达式化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S)应用函数规则对S进行化简。simple(S)调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。例6.9化简命令如下：symsxy;s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;simple(s)%MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果目录2.符号矩阵运算transpose(S)返回S矩阵的转置矩阵。determ(S)返回S矩阵的行列式值。colspace(S)返回S矩阵列空间的基。[Q,D]=eigensys(S)Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值。目录6.1.3符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符'x'最近原则确定缺省变量。目录6.2符号导数及其应用6.2.1函数的极限limit函数的调用格式为：limit(f,x,a)limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,'right')或limit(f,x,a,'left')目录例6.10求极限在MATLAB命令窗口，输入命令：symsamx;f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);limit(f,x,a)%求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x))/x;limit(f)%求极限(2)limit(f,inf)%求f函数在x→∞(包括+∞和-∞)处的极限limit(f,x,inf,'left')%求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,'right')%求极限(4)目录,)sin()sin(lim,lim/011xaxaxaxaxxmmaxans=a^(1/m)/a/mans=2*cos(a)ans=0ans=0ans=-1/2*2^(1/2)/a^(1/2)6.2.2符号函数求导及其应用MATLAB中的求导的函数为：diff(f,x,n)diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。目录例6.11求函数的导数。命令如下：symsabtxyz;f=sqrt(1+exp(x));diff(f)%求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2)%求(2)。求f对x的二阶导数diff(f,x,3)%求(2)。求f对x的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)%求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3%求(3)。求y对x的二阶导数f=x*exp(y)/y^2;diff(f,x)%求(4)。z对x的偏导数diff(f,y)%求(4)。z对y的偏导数f=x^2+y^2+z^2-a^2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数目录例6.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。命令如下：x=sym('x');y=x^3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4目录ans=1/3*3^(1/2)-1/3*3^(1/2)6.3符号积分6.3.1不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。目录例6.13求不定积分。命令如下：x=sym('x');f=(3-x^2)^3;int(f)%求不定积分(1)f=sqrt(x^3+x^4);int(f)%求不定积分(2)g=simple(ans)%调用simple函数对结果化简目录ans=27*x-1/7*x^7+9/5*x^5-9*x^3ans=-1/48*(x^3+x^4)^(1/2)*(-16*(x^2+x)^(3/2)+12*(x^2+x)^(1/2)*x+6*(x^2+x)^(1/2)-3*log(1/2+x+(x^2+x)^(1/2)))/x/((x+1)*x)^(1/2)g=1/3*((x+1)*x)^(1/2)*x^2+1/12*((x+1)*x)^(1/2)*x-1/8*((x+1)*x)^(1/2)+1/16*log(1/2+x+((x+1)*x)^(1/2))6.3.2符号函数的定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)例6.14求定积分。命令如下：x=sym('x');t=sym('t');int(abs(1-x),1,2)%求定积分(1)f=1/(1+x^2);int(f,-inf,inf)%求定积分(2)int(4*t*x,x,2,sin(t))%求定积分(3)f=x^3/(x-1)^100;I=int(f,2,3)%用符号积分的方法求定积分(4)double(I)%将上述符号结果转换为数值目录ans=1/2ans=pians=2*t*(sin(t)^2-4)I=97893129180187301565519001875382615/1192978373971185320372138406360121344ans=0.08205775671718例6.15求椭球的体积。命令如下：symsabcz;f=pi*a*b*(c^2-z^2)/c^2;V=int(f,z,-c,c)V=4/3*pi*a*b*c目录例6.16轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。(1)