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1有限域基础知识1.1有限域（Galois域）的构造令p为一个素数.则对任意的一个正整数n，存在一个特征为p，元素个数为pn的有限域GF(pn).注：任意一个有限域，其元素的个数一定为pn，其中p为一个素数（有限域的特征），n为一个正整数.例1（有限域GF(p)）令p为一个素数，集合GF(p)=Zp={0,1,2,…,p−1}.在GF(p)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模p加法和模p乘法，即任意的a,b∈GF(p)，a⊕b=(a+b)modp,a⊙b=(a⋅b)modp则GF(p),⊕,⊙为一个有p个元素的有限域，其中零元素为0，单位元为1.令a为GF(p)中的一个非零元素.由于gcd(a,p)=1，因此，存在整数b,c，使得ab+pc=1.由此得到a的逆元为a−1=bmodp.域GF(p)称为一个素域(primefield).例注1：给定a和p，例1中的等式ab+pc=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF(p)中任意非零元素的逆元.例2（有限域GF(pn)）从GF(p)出发，对任意正整数n，n≥2，我们可以构造元素元素个数为pn的有限域GF(pn)如下：令g(x)为一个GF(p)上次数为n的不可约多项式，集合GF(pn)=GF(p)[x]/⟨g(x)⟩={a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1|ai∈GF(p),0≤i≤n−1}在GF(pn)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模g(x)加法和模g(x)乘法，即任意的a(x),b(x)∈GF(pn)，a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x),a(x)⊙b(x)=(a(x)⋅b(x))modg(x)则GF(pn),⊕,⊙为一个有pn个元素，特征为p的有限域，其中零元素为GF(p)中的0，单位元为GF(p)中的1.令a(x)为GF(pn)中的一个非零元素.由于gcd(a(x),g(x))=1，因此，存在GF(p)上的多项式b(x),c(x)，使得a(x)b(x)+g(x)c(x)=1.由此得到a(x)的逆元为a−1(x)=b(x)modg(x).域GF(pn)称为GF(p)的（n次）扩域(extensionfield)，而GF(p)称为GF(pn)的子域(subfield).例注2.1：给定GF(p)上的多项式a(x)和g(x)，例2中的等式a(x)b(x)+g(x)c(x)=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF(pn)中任意非零元素的逆元.例注2.2：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域.对任意正整数n,GF(q)上的n次不可约多项式一定存在.更进一步，GF(q)上首项系数为1的n次不可约多项式的个数为Nq(n)=1n∑d|nμ(nd)qd=1n∑d|nμ(d)qn/d其中μ为Moebius函数，定义为μ(m)=⎧⎩⎨1(−1)k0如果m=1如果m=p1p2⋯pk,其中p1,p2,…,pk为互不相同的素数其它1.2有限域的性质令GF(q)是一个含有q个元素的有限域，F∗q=GF(q)∖{0}为有限域GF(q)中所有非零元素构成的集合.则在乘法之下F∗q是一个有限循环群.循环群F∗q的一个生成元称为有限域GF(q)的一个本原元.若α∈GF(q)为一个本原元，则GF(q)={0,1,α,α2,…,αq−2}并且αq−1=1，即αq=α.定义：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域（p不一定为素数），α∈GF(q).则GF(p)上以α为根，首项系数为1，并且次数最低的多项式称为α在GF(p)上的极小多项式(minimalpolynomialofαoverGF(p)).特别地，若α∈GF(q)为GF(q)的一个本原元，则α在GF(p)上的极小多项式称为GF(p)上的一个本原多项式(primitivepolynomialforGF(q)overGF(p)).定义注1：对任意的α∈GF(q)，α在GF(p)上的极小多项式存在并且唯一，并且α在GF(p)上的极小多项式为GF(p)上的一个不可约多项式.定义注2：设α∈GF(q)，则α和αp在GF(p)上具有相同的极小多项式.更进一步，集合B(α)={α,αp,αp2,αp3,…,αpi,…}中的元素具有相同的极小多项式.设q=pn，则αpn=α.因此，集合B(α)中互不相同的元素的个数（记为r）不超过n.可以证明，α为GF(q)的一个本原元当且仅当r=n.定理：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域.设α∈GF(q)，r为满足αpr=α的最小正整数.则α在GF(p)上的极小多项式g(x)是一个r次不可约多项式，并且B(α)={α,αp,αp2,…,αpr−1}中的元素为g(x)在GF(q)上的所有不同的根，即g(x)=(x−α)(x−αp)(x−αp2)⋯(x−αpr−1).注：r的计算方法如下：设α在F∗q中的阶为k.集合Z∗k={m|0≤m≤k−1,gcd(m,k)=1}在模k乘法运算下是一个含有φ(k)个元素的有限群（其中φ为欧拉(Euler)函数）.则r等于pmodk在Z∗k中的阶.推论：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域.设|GF(q)|=pn，即q=pn.设α∈GF(q)为GF(q)的一个本原元，则α在GF(p)上的极小多项式g(x)的次数为n，并且g(x)=(x−α)(x−αp)(x−αp2)⋯(x−αpn−1).更进一步，α,αp,αp2,…,αpn−1均为GF(q)的本原元.注：设GF(p)是一个含有p个元素的有限域，n是任意一个正整数，则GF(p)上的n次本原多项式一定存在.更进一步，GF(p)上的首项系数为1的n次本原多项式的个数为φ(pn−1)n，其中φ为欧拉函数.例3考虑二元域GF(2)上的不可约多项式p(α)=α3+α+1，构造有限域GF(23)=GF(2)[α]/⟨p(α)⟩={0,1,α,α+1,α2,α2+1,α2+α,α2+α+1}.容易验证，α,α2,α3,α4,α5,α6都是GF(23)的本原元.GF(2)上的首项系数为1的3次本原多项式有两个，分别为(i)α,α2,α4在GF(2)上的极小多项式g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α4)=x3+x+1(ii)α3,α5,α6在GF(2)上的极小多项式g(x)=x3+x2+1有限域GF(p)上的本原多项式一定是GF(p)上的不可约多项式；但是，GF(p)上的不可约多项式不一定是GF(p)上的本原多项式.定理：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域，g(x)是GF(p)上的一个不可约多项式.则g(x)为GF(p)上的本原多项式当且仅当g(x)在GF(q)上的根都是GF(q)的本原元.下面例子说明不可约多项式不一定是本原多项式.例4考虑二元域GF(2)上的不可约多项式p(x)=x4+x3+x2+x+1，构造有限域GF(24)=GF(2)[x]/⟨p(x)⟩={a+bx+cx2+dx3|a,b,c,d∈GF(2)}.显然，x∈GF(24).由于x5=1，即x的阶为5，因此，x不是GF(24)的本原元.于是，p(x)不是GF(2)上的本原多项式.另外，可以验证x+1是GF(24)的本原元.2Matlab中的有限域计算函数Matlab中自带的有限域的计算是在GF(2m)上进行的，即在二元域GF(2)的扩域中进行计算，其中1≤m≤16.由“1.1有限域的构造”的“例2”可知，我们只需先找到一个GF(2)上的m次不可约多项式g(x)，得到集合GF(2)[x]/⟨g(x)⟩，然后定义其上的加法和乘法分别为模g(x)加法和模g(x)乘法，即得到有限域GF(2m).然而，这样得到的有限域GF(2m)中，元素x未必是本原元，这将给后面的（乘法）运算带来很多麻烦.因此，在不可约多项式g(x)的挑选上，我们最好选择一个本原多项式.这其实就是Matlab中的做法.Matlab中GF(2m)的元素：在Matlab中GF(2m):=GF(2)[D]/⟨p(D)⟩，其中p(D)为一个GF(2)上的m次本原多项式.GF(2m)={am−1Dm−1+am−2Dm−2+⋯+a1D+a0,|ai∈GF(2),0≤i≤m−1}因此，每个GF(2m)中的元素本质上是一个次数小于m的多项式，每个元素和多项式之间有“1-1”对应关系.例如，取m=3和本原多项式p(D)=D3+D+1，则我们得到有限域GF(23)，其中的元素和多项式之间的对应关系如下：GF(23)GF(2)[D]/⟨p(D)⟩二进制00000110012D0103D+10114D21005D2+1101GF(23)GF(2)[D]/⟨p(D)⟩二进制6D2+D1107D2+D+1111GF(2)上的多项式由系数组成的二进制所对应的（十进制）数字来表示.例如，多项式p(D)=D3+D+1的系数组成的二进制为1011，因此，多项式p(D)表示为数字11.2.1定义有限域数组在Matlab中，函数gf用来定义一个有限域数组，函数申明如下：X_GF=GF(X,M,PRIM_POLY)函数创建有限域GF(2M)上的一个数组，使用的GF(2)上的M次本原多项式为PRIM_POLY；M是一个1至16之间的整数；数组X中的元素为0至2M−1之间的数.例如，生成有限域GF(23)中的所有元素，并令本原多项式为p(D)=D3+D2+1.GF8=gf(0:7,3,13)GF8=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D^2+1(13decimal)Arrayelements=01234567如果不指定本原多项式，则Matlab将使用默认本原多项式.例如gf(0:7,3)ans=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D+1(11decimal)Arrayelements=01234567在这里例子中，Matlab使用了3次本原多项式D3+D+1.如果不指定次数M和本原多项式PRIM_POLY，则生成二元域GF(2)中的元素.gf(0:1)ans=GF(2)array.Arrayelements=01生成的有限域中的数组可以参与运算（+、、.、.^、\等).注意：参与运算的操作数必须来自同一个有限域，用于生成有限域的本原多项式也必须相同！一个典型的例子是计算有限域的乘法表如下：GF8=gf(0:7,3)GF8=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D+1(11decimal)Arrayelements=01234567GF8'*GF8ans=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D+1(11decimal)Arrayelements=0000000001234567024631750365741204376251051427360671532407521643GF8=gf(0:7,3,13)GF8=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D^2+1(13decimal)Arrayelements=01234567GF8'*GF8Warning:Lookuptablesnotdefinedforthisorder2^3andprimitivepolynomial13.Arithmeticstillworkscorrectlybutmultiplication,exponentiation,andinversionofelementsisfasterwithlookuptables.Usegftabletocreateandsavethelookuptables.Ingf.gettablesat35Ingf.mtimesat20ans=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D^2+1(13decim