MATLAB第十一讲插值

大学数学实验MathematicalExperiments实验3插值与数值积分计算机会“算”吗？靠得住吗？例：把4开n次方，再平方n次，结果是4？存在误差？英国著名数值分析学家Higham(1998):Canyoucountoncomputers?精确计算：解析结果(Analytical)近似计算：数值结果(Numerical)?422n=55左右：结果变成1计算功效=计算工具*计算方法(算法)浮点运算：舍入误差实验3的基本内容3.数值积分的梯形公式、辛普森公式和高斯公式。1.插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日插值，分段线性插值，三次样条插值。2.插值的MATLAB实现及插值的应用。4.数值积分的MATLAB实现及数值积分的应用。什么是插值(Interpolation)？从查函数表说起查函数表xtdtex2221)(x012…┇┇┇┇┇1.00.84130.84380.8461…1.10.86430.86650.8686…1.20.88490.88690.8888…┇┇┇┇┇标准正态分布函数表求(1.114)(1.114)=0.8665(0.86860.8665)0.4=0.8673插值插值在图像处理/数控加工/外观设计等领域有重要应用插值的基本原理插值问题的提法已知n+1个节点,,1,0(),(njyxjj其中jx互不相同，不妨设),10bxxxan求任一插值点)(*jxx处的插值.*y0x1xnx0y1y节点可视为由)(xgy产生,g表达式复杂,甚至无表达式*x*y0x1xnx0y1y求解插值问题的基本思路构造一个(相对简单的)函数),(xfy通过全部节点,即),1,0()(njyxfjj再用)(xf计算插值，即).(**xfy*x*y插值的基本原理7),,1,0()(niyxPii设函数在区间上有定义，且已知在点)(xfy],[ba上的值，bxxxan10nyyy,,,10函数，)(xP若存在一简单使成立，就称为的插值函数，点称为插)(xP)(xfnxxx,,,10值节点，包含节点的区间称为插值区间，求插值函数],[ba)(xP的方法称为插值法.定义18,)(10nnxaxaaxP若是次数不超过的代数多项式，)(xPn其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法ia)(xP本章只讨论多项式插值与分段插值,样条插值.若为分段的多项式，就称为分段插值.)(xP若为三角多项式，就称为三角插值.)(xP即称为多项式插值.9从几何上看，插值法就是确定曲线，使其通过给定的个点，并用它近似已知曲线.)(xPy1nniyxii,,1,0),,()(xfy图2-1见图2-1.10本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式的存在唯一性、收敛性及误差估计等.)(xP定理1在次数不超过n的多项式集合Hn中，满足条件的插值多项式是存在唯一的.nnHxL)(112.2多项式插值设在[a,b]上给定n+1个点上的函数值yi=f(xi)(i=0,…n),求次数不超过n的多项式P(x)，满足P(xi)=yi,(i=0,…n),bxxxan...10既满足线性方程组，nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa102111000010,,插值多项式)1()(0111axaxaxaxLnnnnnnnnnnnnnyyYaaAxxxxX001100,,11在什么条件下）(0)det(X),1,0()(njyxLjjn)2(YXA求ia有唯一解)2(拉格朗日插值三种插值方法1.线性插值对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得插值多项式.先讨论的简单情形.1n问题：给定区间及端点函数值，],[1kkxx)(),(11kkkkxfyxfy要求线性插值多项式，)(1xL.)(,)(1111kkkkyxLyxL拉格朗日插值使它满足nnxaxaaxP10)(其几何意义就是通过两点的直线.图2-2如图2-2.),(),,(11kkkkyxyx由的几何意义可得到表达式)(1xL)()(111kkkkkkxxxxyyyxL（点斜式），11111)(kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL（两点式），由两点式看出，是由两个线性函数)(1xL,)(11kkkkxxxxxlkkkkxxxxxl11)(的线性组合得到，其系数分别为及，即ky1ky).()()(111xlyxlyxLkkkk称及为线性插值基函数，)(xlk)(1xlk,1)(kkxl,0)(1kkxl,0)(1kkxl,1)(11kkxl显然，及也是线性插值多项式，在节点及)(xlk)(1xlkkx1kx上满足条件图形见图2-3.图2-3x0x1x2p2(x)f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。2.二次插值多项式线性插值只利用两对值及求得的近似值，误差较大。设p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。),(kkyx),(11kkyx)(xfy,)(,)(,)(1122112kkkkkkyxPyxPyxP二次Lagrange插值多项式2以过节点的二次函数为插值函数。2()Lx用基函数的方法获得2()Lx其中1200102()()()()()xxxxlxxxxx0211012()()()()()xxxxlxxxxx0122021()()()()()xxxxlxxxxx(,)(0,1,2)iixyi设被插函数在插值节点处的函数值为012,,yyy2001122()()()()Lxylxylxylx,,,210xxx).,,1,0()(njyxLjjn根据插值的定义应满足)(xLn先定义次插值基函数.n为构造，)(xLn2.n次插值多项式定义1),,1,0,(.,0;,1)(nkjjkjkxlkj就称这个次多项式为节点1nn)(,),(),(10xlxlxln上的次插值基函数.nxxx,,,10n若次多项式在个节点n),,1,0()(njxLj1nnxxx10上满足条件显然它满足条件.于是，满足条件的插值多项式Ln(x)可表示为.)()(0nkkknxlyxL)())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl).,,1,0(nk与前面的推导类似，次插值基函数为n),,1,0,(.,0;,1)(nkjjkjkxlkj25由的定义，知)(xlk).,,1,0()()(0njyxlyxLjnkjkkjn容易求得),())(()()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx),())(()(101nnxxxxxxx若引入记号.)()(0nkkknxlyxL称为拉格郎日（Lagrange)插值多项式而线性插值与抛物线插值是n=1和n=2的特殊情形于是上述公式可改写成.)()()()(011nkknknknxxxxyxL注意:次插值多项式通常是次数为的多项式，n)(xLnn特殊情况下次数可能小于.n关于插值多项式存在唯一性有以下定理..)()(0nkkknxlyxL),()!1()()()()(11(xnfxLxfxRnnnn3.插值余项与误差估计设在上连续，在内)()(xfn],[ba)()1(xfn),(ba存在，节点是满足条件的插值多项式，)(,10xLbxxxann则对任何，插值余项],[bax若在上用近似，],[ba)(xLn)(xf),()()(xLxfxRnn则其截断误差为也称为插值多项式的余项.定理2.),(ba由给定条件知在节点上为零，即，)(xRn),,1,0(nkxk),,1,0(0)(nkxRkn其中是与有关的待定函数.)(xKx),()()())()(()(110xxKxxxxxxxKxRnnn现把看成上的一个固定点，作函数x],[ba),())()(()()()(10nnxtxtxtxKtLtft根据插值条件及余项定义，可知在点及)(tnxxx,,,10处均为零，故在上有个零点.)(t],[ba2nx证明于是根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，)(t)(t故在内至少有个零点.)(t],[ba1n对再应用罗尔定理，可知在内至少有个零点.)(t)(t],[ban依此类推，在内至少有一个零点，记为，)()1(tn),(ba),(ba,0)()!1()()()1()1(xKnfnn使于是将它代入，余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用.)(xf但在内的具体位置通常不可能给出，),(ba如果可以求出那么插值多项式逼近的截断误差限是,)(max1)1(nnbxaMxf)(xLn)(xf.)()!1()(11xnMxRnnn),,(,)!1()()()1(banfxKn.x且依赖于就得到余项表达式.当时，线性插值余项为1n),)()((21)()(21)(1021xxxxfxfxR).,(10xx当时，抛物插值余项为2n),)()()((61)(2102xxxxxxfxR).,(20xx若取，则0m.1)(0nkkxl根据定理2，.,,1,0,)(0nmxxlxnkmkmk可得,,,1,0,)(nmxxfm若令它可用来检验函数组的正确性.},,1,0),({nkxlk由题意,取,314567.0,32.000yx.352274.0,36.022yx用线性插值计算，,333487.034.0sin,314567.032.0sin,352274.036.0sin,333487.0,34.011yx例1已知的值并估计截断误差.3367.0sin用线性插值及抛物插值计算解,34.0,32.010xx取由点斜式公式)()(111kkkkkkxxxxyyyxL（点斜式），)3367.0(3367.0sin1L0167.002.001892.0314567.0)3367.0(00101xxxyyy.330365.0其截断误差,))((2)(1021xxxxMxR其中)(max102xfMxxx于是)3367.0(3367.0sin)3367.0(11LR0033.00167.03335.021xxxxsinmax10,3335.0sin1x.1092.05用抛物插值计算，由公式得))(())(())(())((3367.0sin21012012010210xxxxxxxxyxxxxxxxxy))(())((1202102xxxxxxxxy)3367.0(2L333487.00008.0107689.0314567.040008.0105511.0352274.00004.01089.344.330374.0,))()((6)(21032xxxxxxMxR其中)(max203xfMxxx于是这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一