Poisson分布的统计分析

Poisson分布的统计分析2Poisson分布的概念描述所观察到的某事件发生次数x的概率对于观察单位充分小的情况下某事件发生是非常罕见的罕见事件:,n很大,而不大,xn0每个格子的大小恰好能容纳一个细菌1L水细分格子数n有限格子中有细菌x0xnx3什么是Poisson分布Poisson分布主要用于描述在单位时间（空间）中某种事件发生数的概率分布放射性物质在单位时间内的放射次数在单位容积充分摇匀的水中的细菌数野外单位空间中的某种昆虫数显然，Poisson分布也是一种离散型随机变量的分布4什么是Poisson分布可以认为满足以下三个条件的随机变量服从Poisson分布：平稳性：X的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关独立性：在某个观察单位上X的取值与前面各观察单位上X的取值独立（无关）普通性：在充分小的观察单位上X的取值最多为1实际上可以看作是在二项分布要求上更进了一步5什么是Poisson分布Poisson分布的概率分布规律X取值范围为非负整数，即0,1,…；其相应取值概率为式中e：自然对数的底，e≈2.7182；是大于0的常数。X服从以为参数（X的总体均数）的Poisson分布可记为X～P()ekkXPk!6Poisson分布的特性Poisson分布的均数与方差由Poisson分布计算概率公式可见Poisson分布只有一个参数。这个参数就是Poisson分布的总体均数。不同的总体均数对应于不同的Poisson分布总体方差也等于此参数这是Poisson分布的特性7Poisson分布的特性Poisson分布的可加性如果X1,X2,…,Xk相互独立，且它们分别服从Poisson分布，则T=X1+X2+…+Xk也服从Poisson分布，其参数为原各参数之和1+2+…+k正态分布与Poisson分布的关系只取决于均数，均数很小时分布很偏，当均数增加时，逐渐趋于对称当均数越来越大时，Poisson分布逐渐逼近于均数为，方差为的正态分布。据此性质，均数较大的Poisson分布可按正态分布近似计算8＝3＝5＝10＝209Poisson分布的特性Poisson分布与二项分布的关系设X～B(n,)，则当n→∞且n保持不变时，可以证明X的极限分布是以n为参数的Poisson分布由以上性质可得，当n很大，很小时，二项分布近似Poisson分布。当n很大时，二项分布概率的计算量相当大。因此可以利用二项分布的Poisson近似这一性质，当n很大且很小时，可以用Poisson分布概率计算替代二项分布的概率计算Poisson分布总体均数的估计11小样本时总体均数的估计当待估总体均数与样本均数的观察单位相同时，总体均数的点估计就是样本计数，也就是说此时的样本计数就是样本均数。按照分布规律，直接通过计算不同发生数的概率即可得到区间估计例7.1对某一水体进行卫生学评价，随机取得100ml水样，培养得大肠菌落30个，试估计该水体中平均每100毫升所含大肠菌数的95%可信区间。由于希望求得的是100毫升水样的菌落数可信区间，因此可以将这些水样看作是一个观察单位来进行分析。Cii命令12大样本时总体均数的估计在大样本时可以直接利用正态近似原理得到区间估计当待估总体均数与样本均数的观察单位不同时，要根据样本观察单位进行估计，然后把估计结果进行单位转换，使估计结果中的观察单位与总体观察单位相同(用正态近似方法可以直接变换观察单位)。13大样本时总体均数的估计例7.2测得某放射性同位素半小时内发出的脉冲数为490个，试估计该放射性同位素平均每30分钟脉冲数的95%可信区间。已知n=490，由于此样本计数大于50，故可考虑利用近似正态分布的原理估计其总体均数。这里，待估总体均数的单位是30分钟，样本均数也是观察了1次30分钟得到的，所以应当以30分钟作为一个观察单位可直接按照近似原理计算，或者用cii命令计算由于观察单位数等于1，因此公式中标准误的大小就等于标准差14大样本时总体均数的估计例7.3为了解某地新生儿出生缺陷的发生水平，该地某年内共监测新生儿192000人，其中出生缺陷的发生数为1977人，监测出生缺陷发生率为102.97/万，试估计该地新生儿出生缺陷发生率的95%可信区间。新生儿出生缺陷的发生率常以万分率来表示，如果以1万人为单位，该地监测的新生儿出生数192000人可看作是19.2个观察单位（即n=19.2），其样本均数为102.97，正态近似时的标准差也应当按此计算注意此时标准误的大小不等于标准差计算结果与不同的观察单位大小无关Poisson分布样本均数与总体均数的比较16小样本计算例7.4一般孕产妇的死亡率是56/10万，某地研究者为了解当地孕产妇的死亡率是否低于一般，对该地7500名孕产妇进行监测，其中3名死亡，死亡率为40/10万，试作统计推断。可利用Poisson分布的概率函数直接计算假设检验所需的的概率P值，和检验水准比较之后下结论。17分析步骤H0：当地孕产妇的总体平均死亡数与一般孕产妇的死亡数相等H1：当地孕产妇的总体平均死亡数低于一般孕产妇的死亡数单侧18分析步骤根据Poisson分布概率函数00()!XPXeX，计算!32.4!22.4!12.43210332.422.42.42.4eeeePPPPxP=0.014996+0.062981+0.132261+0.185165=0.395403故按0.05水准，不拒绝0H，尚不能认为该地孕产妇的死亡率低于一般。19正态近似法例7.5利用例7.3的结果，若全国新生儿出生缺陷发生率为89.62/万，研究该地新生儿出生缺陷发生率是否高于全国的水平，试作统计推断。可利用正态近似的原理作以下计算进行u检验20分析步骤H0：当地新生儿出生缺陷平均发生数与全国的平均发生数相等H1：当地新生儿出生缺陷平均发生数高于全国的平均发生数单侧21分析步骤已知1977X，192000n，00.008962故001920000.0098621720.7n，其值远远大于20。可代入公式（7.3）：19771720.76.1791720.7u查附表1，标准正态分布界值表，单侧界值U0.05＝1.64,得0.0005P，按0.05水准，拒绝0H，接受1H，可认为该地新生儿出生缺陷发生率高于全国。Poisson分布两样本均数的比较23方法原理当两个样本计数均较大时，可根据Poisson分布近似正态分布的性质作u检验。当两样本计数中有一个较小或两个均较小时，可先作变量转换，然后再作适当的检验。本节仅介绍两个样本计数均较大时的u检验。根据两个样本观察单位是否相同，所采用的计算公式又分为两种。24方法原理两样本观察单位相等近似u检验的公式为：显然，是由两样本的u检验公式直接化简而来两样本观察单位不等近似u检验的公式原形不变，但简化后的公式不同2121XXXXu22112122212121////nXnXXXnsnsXXu25等样本分析实例例7.6为研究两水源被污染的情况是否相同，在每个水源各随机抽取10份水样，每份1ml，作细菌培养。甲水源水样共得细菌菌落580个，乙水源水样共得菌落432个，试作统计推断。都是按照10ml进行的计数，因此可以将其看成是一个观察单位如果按1ml来计算，检验结果不变26不等样本分析实例例7.7为研究某省不同性别意外伤害死亡情况有无差异，已知2000年该省疾病监测数据中，男性292512人，女性283474人，因意外伤害死亡的人数分别为180人、60人，试作统计推断由于观察人数不同，因此需要考虑化成相同的观察单位大小，此处可根据喜好自行设定，例如按照每10万人口作为一个观察单位27不等样本分析实例假设检验H0:男女的平均意外伤害死亡人数相同Ｈ1:男女的平均意外伤害死亡人数不同=0.05调整相同观察单位P0.001，拒绝H0，可以认为男性平均意外伤害死亡高于女性，差异有统计学意义。11806.15429.2512x2602.11728.3474x1211226.1542.1177.56/'/'6.154/29.25122.117/28.3474xxuxnxn28Stata计算一、Possion分布的总体均数95％可信区间cii观察单位数观察到的发生数，poisson二、单样本Poisson分布确切概率法假设检验poistest样本均数已知总体均数