MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

姓名实验报告成绩评语：指导教师（签名）年月日说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。实验一方程求根一、实验目的用各种方法求任意实函数方程0)(xf在自变量区间[a，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。二、实验原理(1)、二分法对方程0)(xf在[a，b]内求根。将所给区间二分，在分点2abx判断是否0)(xf；若是，则有根2abx。否则，继续判断是否0)()(xfaf,若是，则令xb,否则令xa。否则令xa。重复此过程直至求出方程0)(xf在[a,b]中的近似根为止。（2）、迭代法将方程0)(xf等价变换为x=ψ（x）形式，并建立相应的迭代公式1kxψ（x）。（3）、牛顿法若已知方程的一个近似根0x，则函数在点0x附近可用一阶泰勒多项式))((')()(0001xxxfxfxp来近似，因此方程0)(xf可近似表示为)(0xf0))(('0xxxf设0)('0xf,则x0x)(')(00xfxf。取x作为原方程新的近似根1x，然后将1x作为0x代入上式。迭代公式为：1kx0x)(')(kkxfxf。三、实验设备：MATLAB7.0软件四、结果预测（1）11x=0.09033（2）5x=0.09052（3）2x=0,09052五、实验内容（1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210xex的近似根，要求误差不超过3105.0。（2）、取初值00x，用迭代公式1kx0x)(')(kkxfxf，求方程0210xex的近似根。要求误差不超过3105.0。（3）、取初值00x，用牛顿迭代法求方程0210xex的近似根。要求误差不超过3105.0。六、实验步骤与实验程序（1）二分法第一步：在MATLAB7.0软件，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件agui_bisect.m如下：functionx=agui_bisect(fname,a,b,e)%fname为函数名，a,b为区间端点，e为精度fa=feval(fname,a);%把a端点代入函数，求fafb=feval(fname,b);%把b端点代入函数，求fbiffa*fb0error('两端函数值为同号');end%如果fa*fb0，则输出两端函数值为同号k=0x=(a+b)/2while(b-a)(2*e)%循环条件的限制fx=feval(fname,x);%把x代入代入函数，求fxiffa*fx0%如果fa与fx同号，则把x赋给b，把fx赋给fbb=x;fb=fx;else%如果fa与fx异号，则把x赋给a，把fx赋给faa=x;fa=fx;endk=k+1%计算二分了多少次x=(a+b)/2%当满足了一定精度后，跳出循环，每次二分，都得新的区间断点a和b，则近似解为x=(a+b)/2end第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下fun=inline('exp(x)+10*x-2')x=agui_bisect(fun,0,1,0.5*10^-3)第三步：得到计算结果，且计算结果为kx00.5000000000000010.2500000000000020.1250000000000030.0625000000000040.0937500000000050.0781250000000060.0859375000000070.0898437500000080.0917968750000090.09082031250000100.09033203125000110.09033203125000（2）迭代法第一步：第一步：在MATLAB7.0软件，建立一个实现迭代法的MATLAB函数文件agui_main.m如下：functionx=agui_main(fname,x0,e)%fname为函数名dfname的函数fname的导数，x0为迭代初值%e为精度，N为最大迭代次数(默认为100)N=100;x=x0;%把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0x0=x+2*e;k=0;whileabs(x0-x)e&kN%循环条件的控制：x0-x的绝对值大于某一精度，和迭代次数小于Nk=k+1%显示迭代的第几次x0=x;x=(2-exp(x0))/10%迭代公式disp(x)%显示xendifk==Nwarning('已达到最大迭代次数');end%如果K=N则输出已达到最大迭代次数第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下fun=inline('exp(x)+10*x-2')x=agui_main(fun,0,1,0.5*10^-3)第三步：得出计算结果，且计算结果为kx10.1000000000000020.0894829081924430.0906391358595840.0905126166743750.09051261667437以下是结果的屏幕截图（3）牛顿迭代法第一步：第一步：在MATLAB7.0软件，建立一个实现牛顿迭代法的MATLAB函数文件=agui_newton.m如下：functionx=agui_newton(fname,dfname,x0,e)%fname为函数名dfname的函数fname的导数，x0为迭代初值%e为精度，N为最大迭代次数(默认为100)N=100;x=x0;%把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0x0=x+2*e;k=0;whileabs(x0-x)e&kN%循环条件的控制：x0-x的绝对值大于某一精度，和迭代次数小于Nk=k+1%显示迭代的第几次x0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);%牛顿迭代公式disp(x)%显示xendifk==Nwarning('已达到最大迭代次数');end%如果K=N则输出已达到最大迭代次数第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下fun=inline('exp(x)+10*x-2')dfun=inline('exp(x)+10')x=agui_newton(fun,dfun,0,0.5*10^-3)第三步：得出结果，且结果为kx10.0909090909090920.0905251085833930.09052510858339以下是结果的屏幕截图七、实验结果（1）11x=0.09033（2）5x=0.09052（3）2x=0,09052八、实验分析与结论由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：二分法要循环k=11次，迭代法要迭代k=5次，牛顿法要迭代k=2次才能达到精度为3105.0的要求，而且方程0210xex的精确解经计算，为0.0905250,计算量从大到小依次是:二分法,迭代法,牛顿法。由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。而这三种方法中，牛顿法不仅计算量少，而且精确度高。从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。可是迭代法是局部收敛的，其收敛性与初值x0有关。二分法收敛虽然是速度最慢，但也有自己的优势，可常用于求精度不高的近似根。迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。对与不同的题目，可以从三种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较好。