实验一 ARIMA模型建立与应用

1实验一ARIMA模型建立与应用一、实验项目：ARIMA模型建立与预测。二、实验目的1、准确掌握ARIMA(p,d,q)模型各种形式和基本原理；2、熟练识别ARIMA(p,d,q)模型中的阶数p,d,q的方法；3、学会建立及检验ARIMA(p,d,q)模型的方法；4、熟练掌握运用ARIMA(p,d,q)模型对样本序列进行拟合和预测；三、预备知识（一）模型1、AR（p）(p阶自回归模型）tptptttuxxxx2211其中ut白噪声序列，δ是常数（表示序列数据没有0均值化）AR（p）等价于ttppuxLLL)1(221AR（p）的特征方程是：01)(221ppLLLLAR（p）平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。2、MA（q）（q阶移动平均模型）qtqttttuuuux2211ttqqtuLuLLLx)()1(221其中{ut}是白噪声过程。MA（q）平稳性MA（q）是由ut本身和q个ut的滞后项加权平均构造出来的，因此它是平稳的。MA（q）可逆性（用自回归序列表示ut）ttxLu1)]([可逆条件：即1)]([L收敛的条件。即Θ（L）每个特征根绝对值大于1，即全部特征根在单位圆之外。3、ARMA（p，q）（自回归移动平均过程）qtqtttptptttuuuuxxxx22112211ttqqtpptuLuLLLxLLLxL)()1()1()(221221ttuLxL)()(ARMA（p，q）平稳性的条件是方程Φ（L）=0的根都在单位圆外；可逆性条件是方程Θ（L）=0的根全部在单位圆外。24、ARIMA（p，d，q）（单整自回归移动平均模型）差分算子：tdtdttttttttttttxLxxLxLxLxxxxLLxxxxx)1()1()1()1()1(21121对d阶单整序列xt~I(d)tdtdtxLxw)1(则wt是平稳序列，于是可对wt建立ARMA（p，q）模型，所得到的模型称为xt~ARIMA（p，d，q），模型形式是qtqtttptptttuuuuwwww22112211ttduLxL)()(由此可转化为ARMA模型。（二）模型识别要建立模型ARIMA（p，d，q），首先要确定p，d，q，步骤是：一是用单位根检验法，确定xt~I（d）的d；二是确定xt~AR（p）中的p；三是确定xt~MA（q）中的q。平稳序列自相关函数0000)var()var(),cov()var()var(),cov(rrxxxxxxxxkkkttkttkρ0=1，ρ-k=ρk（对称）1、平稳AR(p)的自相关系数和偏自相关系数（1）平稳AR(p)的自相关系数tptptttuxxxx2211｜φi｜1，i=1,2,…,p，E(ut)=0tktptktptkttkttktuxxxxxxxxx2211，k0pkpkkk2211，k0平稳AR(p)的自相关系数是pkpkkk2211，k0（2）k阶平稳自回归过程AR(k)的偏自相关系数tktkktktktuxxxx2211jttjtktkkjttkjttkjttxuxxxxxxxx2211kjkkjkjkj2211两边同除以γ03kjkkjkjkj2211对任意j0都成立。根据10和对称性jj，得到Yule-Walker方程组kkkkkkkkkkkkkkkkk22112211211211对于给定的k，ρ1,ρ2,…,ρk已知，每个方程组最后一个解就是相应的偏自相关系数：φ11，φ22的,…,φkk。ρ3是k=3的自相关系数，意义：度量平稳序列xt与xt-3的相关系数，至于中间xt-1，xt-2起什么作用无法顾及。φ33的k=3的偏自相关系数。意义：剔除中间变量xt-1，xt-2的影响后，度量xt与xt-3的相关程度。2、平稳MA(q)的自相关系数和偏自相关系数（1）MA(q)自相关系数qtqttttuuuux2211qkqkkxxEqqkkkqkttk,00),(0),1()(112222212qkqkkrrqqqkkkkk,00),1/()(0,122221110当kq时，ρk=0，xt与xt+k不相关，这种现象称为截尾，因此可根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶数q。（2）MA(q)偏自相关系数MA(q)模型对应一个AR（∞），通过AR（∞）来解决3、ARMA（p，q）有拖尾特征，p和q的识别通过从低阶逐步试探直到合适的模型为止。（三）模型估计用Eviews软件进行估计（四）模型检验1、用t统计量检验模型参数显著性；2、为保证ARMA（p，q）的平稳性和可逆性，模型特征根皆应在单位圆以外，或倒数在单位圆内；3、用Q统计量对残差进行白噪声检验。原假设和备择假设0:211KH（序列不存在自相关，是白噪声）4KH,,,:210不全为0（序列存在自相关，不是白噪声）统计量)(~)1(212KKTrTTQKkk其中上述r是样本相关系数，T是样本容量，分布是极限分布。K是自相关系数的个数，即最大滞后期。若样本较大，则K=[T/10]或T的平方根；若样本较小，则K=[T/4]。判别规则是：)(2KQ接受原假设，)(2KQ拒绝原假设。（五）模型外推预测已有ARMA（p，q）模型qtqtttptptttuuuuxxxx22112211和观察值Xt，Xt-1，Xt-2，…，X1。把观察值代入，在t+1时刻有1121111211qtqtttptptttuuuuXXXX上式中，观察值已知，只有误差处理问题。下标大于t的误差项，由于未来的误差未知，因此用期望值0代替未来的误差。下标从1到t的误差项，可用残差估计值（要建模时可找到）代替。于是1步预测公式：112111210)1(qtqttptptttuuuXXXX类似地，2步预测公式和l步预测公式分别是：2132222100)1()2(qtqttptptttuuuXXXXhqtqththtptttuuuphXhXhXhX1121)()2()1()(其中，h-p=0时，phttXphX)(；h-q0时，0hqtu四、实验内容1、ARIMA(p，d，q)模型阶数识别；2、ARIMA(p，d，q)模型估计与检验；3、ARIMA(p，d，q)模型外推预测。五、实验软件环景：Eviews软件。六、实验步骤：按、以美元对欧元汇率1993.1到2007.12的月均价数据为例进行实验。（一）创建Eviews工作文件（Workfile）从Eviews主选单中选“File/New\Workfile”，选择“monthly”选项，输入“Startdate:1993:01Enddate:2007:12”。5（二）录入数据，并对序列进行初步分析1、导入数据Quick/EmptyGroup在Ser01输入数据；改变量名：点击Ser01全选第一列，在命令栏输入EURO。将文件保存命名，注意存放地址。62、序列初步分析选定变量EURO，双击它，View\Graph\Line，输出EURO的曲线7从图形看到美元对欧元汇率在2001年左右处于高位，2002年以后一直处于下跌态势。数据总体上类似于随机游走过程形式，应该是非平稳的。（三）ARIMA(p，d，q)模型阶数识别1、确定单整阶数d（1）用不含时间趋势项、解释变量中不含差分项的模型，即对模型ttteuroeuro1进行单位检验（UnitRootTest）。假设0:0H；备择假设0:1H。在工作文件窗口，选定变量EURO，双击它，在EURO页面上，点击View\UnitRootTest\ADF，表示已经进入扩展的DF检验。选择Level(对水平变量进行单位根检验，检验系数对应的项EUROt-1)\Intercept(不含时间趋势变量)\Automaticselecttion（解释变量不含EUROt-1的差分），并且在maximum中选择0（表示差分滞后项数取0，即不含EUROt-1的差分）8NullHypothesis:EUROhasaunitrootExogenous:ConstantLagLength:0(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=0)t-StatisticProb.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic-0.5839080.8699Testcriticalvalues:1%level-3.4669945%level-2.87754410%level-2.575381*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.AugmentedDickey-FullerTestEquationDependentVariable:D(EURO)Method:LeastSquaresDate:04/11/11Time:08:24Sample(adjusted):1993M022007M12Includedobservations:179afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.EURO(-1)-0.0074960.012838-0.5839080.5600C0.0058750.0114750.5119900.6093R-squared0.001923Meandependentvar-0.000766AdjustedR-squared-0.003716S.D.dependentvar0.020297S.E.ofregression0.020334Akaikeinfocriterion-4.9419079Sumsquaredresid0.073187Schwarzcriterion-4.906293Loglikelihood444.3006F-statistic0.340948Durbin-Watsonstat1.369377Prob(F-statistic)0.560026得到结果1007496.0005875.0tteuroeurot=（0.511990）（-0.583908）p=（0.6093）（0.5600）要确定差分方程的样本容量T，原有的样本容量是180，差分后样本容量是T=179；取α=5%，查附表2，得临界值τ=-2.88；统计量观察值为t=-0.583908τ=-2.88，所以接受假设(从概率值大于0.05也得到接受的结论)，即认为汇率序列（EURO）是非平稳的。（2）对模型ttteuroeuro12，作假设0:0H；备择假设0:1H。在工作文件窗口，选定变量euro，双击，在euro页面上，点击View\Un