NBA是否有必要设立四分线

参赛队号#37962016年第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段论文题目NBA是否有必要设立四分线？关键词四分线、物理抛物线模型、柯西分布隶属函数、层次分析、Santy标度方法、Matable、Excel摘要：当前，世界篮球运动发展的总趋势趋向：高速度、强对抗、高命中。为了加快篮球比赛的节奏，最大限度地提升比赛的观赏性，四分线的推出能更全面的反映出一名射手的远投能力，使比赛更具观赏性。本文以NBA的数据作为参照，通过建立数学模型来量化评估解决分析引入四分线的问题及四分线的引入所产出的影响，引入四分线后，如何设计确定四分线的合理位置等问题，根据物理运动学原理分析四分球投篮，建立数理模型对四分线位置进行分析。针对问题一：首先确定决定NBA四分线能否引入的因素和确定影响因素的权重，建立偏大型柯西分布隶属函数模型，计算得出影响因素的权值表在侧重分析运动员的素质，个人表现能力，投篮命中率，整个联盟球队的配合，NBA比赛的可观赏性，球迷的喜爱程度。统计往年赛程数据，根据联盟中出色球手的投篮水平能力，联盟中背靠背的次数，对其进行权重细节处理，运用Matlab进行数据处理。比较往年赛季引入新规则后，球员的的得分情况和球队的战术配合，最后综合以上得到球迷的观赏性指标，用Santy标度方法构造函数，通过一致性检验，证明检验的合理性，最终得出结论NBA应该引入四分球。针对问题二：设计引入四分线的合理位置，实质上是计算射手投四分球时距离篮球筐的合理位置，采用抛物线模型进行计算，建立四分球投射模型，计算出四分线的位置，综合二分线模型推算出四分线的投篮距离。在建立模型中，二分线因距离较近，可以不用考虑空气阻力和重力，但四分球模型位置较远，需要考虑重力和空气阻力，构建篮球运动轨迹方程，引入四分球后，根据球员的数据，运用抛物线的数理模型cos2vgltanh22LH用Matlab作图分析，结合马格纳斯力由儒可夫斯基环流理论，采用矩阵进行分析，结合二分球模型的相关数据及历史经验，用Santy标度的方法，最终确定四分线的位置离篮球架9.75米处。参赛队号:#3796参赛密码（由组委3ews会填写）参赛队号#37961一．问题的重述NBA联盟从1946年成立到今天，一路上经历过无数次规则上的变迁。有顺应民意、皆大欢喜的，比如173年在技术统计中增加了抢断和盖帽数据；有应运而生、力挽狂澜的，比如1973年引入24秒进攻时限；有因人废事、“打击迫害”的，比如为了限制麦肯，将三秒区宽度从6英尺扩大到12英尺，又为了限制张伯伦，进一步扩大到16英尺，有步步为营、小心翼翼的，比如2004年在NBDL试行所有投篮只算两分，直至第四届最后5分钟和加时赛才启用三分球规则；也有弄巧成拙、朝令夕改的，比如1953年曾规定每队每名球员单节只能犯规两次，第三次犯规就被罚出场，实施不久之后就不了了之……本质上，NBA是一个以盈利为目的的商业联赛，为了最大限度地提高比赛观赏性，保证球迷们心甘情愿地掏钱买票，修改现有规则或设立新的规则都是可能的。79-80赛季，NBA开始实验性的引入三分球制，当时的原则是“仅限于常规赛使用”而在80-81赛季，NBA正式全面引入三分线。目前，NBA三分线的最远处距离篮筐是7.25米。值得注意的是NBA曾在84-95赛季将三分线距离缩短为6.70米，距离变短后人人都能投三分，很难反映出球员的远投能力，所以97-98赛季，NBA又将三分线距离改回原来的7.25米。四分线的推出能更全面反映出1名射手的远投能力。2015-2016赛季，在28-32映出（8.53-9.75米）之间，投篮最准的是快船队的贾马尔·克劳福德，总共23次出手命中14球，命中率高达60.9%。排在第2位的是湖人队的肯道尔·马绍尔，23投11中，命中率为47.8%。勇士队的斯蒂芬·库里则以（21投8中）的命中率位列第3位。NBA一旦引入四分球制度，投手的春天将就此到来。那些震撼联盟的神射手们又多了一项致命的武器。此外，四分球拉开空间之后，会让内线球员的防守压力变得更小，篮下的肉搏变得更少，更有利于内线的大个子们保持自己的健康。第一阶段问题：1.请建立合理的数学模型，量化评估NBA是否应该引入四分线。2.如果让你负责设计四分线所在的位置，提出一个较为合理的方案。参赛队号#37962二．问题的分析本文以NBA数据为例，通过建立数理模型来解决分析影响四分线引入的因素，四分线的引入所产出的影响，及引入四分线后，如何设计确定四分线的位置等问题。首先确定运动员的素质、整个球队联盟的配合、球迷们的喜爱程度作为影响四分线的因素，并以此出发，分别分析，建立相关模型，分析引入四分线后的影响。假设在NBA比赛中引入四分线，在比赛中的四分线投篮促进了对抗范围的扩大，开辟了继三分线外的另一条战线，四分线以外的投篮比内线投篮得到更多的分，这就使得四分球对战术的影响作用越来越大。四分线外投篮不仅能够有效的进攻，同时也能有效的防守，充分发挥远投的威力。同时能提供更多的有价值的选择机会，制造更好的战术配合。设置四分线，让球员更好的发挥它们的天赋。当球员从30英尺外轻松跳投得分时，全场观众站立欢呼的一幕，这种振奋人心的表现经常上演。所以NBA应该引入四分线。引入四分线，根据四分球投球的命中率，排除运动员因运动造成的各种不利因素，讨论投球时球心与篮筐中心的距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球的影响，设计确定合理的四分线所在的位置。针对问题一：将NBA观赏度评价指标作为球迷们的喜爱程度，找出影响观赏度和个人表现力的重要指标，利用层次分析法确定权重，找出影响的最主要指标，为了提高指标体系的可靠性，利用模糊综合评价模型进行进一步的完善。统计NBA的一些数据，并进行分析，观察引入四分线对比赛的影响，通过建立层次模型，确定比重。由于比赛的观赏性与球员的个人能力展示有着某种联系，把个人能力归结到观赏性分析力去进行.比较往年赛季引入新规则后，球员的的得分情况和球队的战术配合，最后综合以上得到球迷的观赏性指标，用Santy标度方法构造函数，运用矩阵，通过一致性检验，证明检验的合理性，最终得出结论NBA应该引入四分球。针对问题二：根据物理运动学原理引入四分线，根据四分球投球的命中率，排除运动员因运动造成的各种不利因素，讨论投球时球心与篮筐中心的距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球的影响，设计确定合理的四分线所在的位置。在建立模型中，二分线因距离较近，可以不用考虑空气阻力和重力，但四分球模型位置较远，需要考虑重力和空气阻力，构建篮球运动轨迹方程，建立相关模型，最终得出四分线合理位置。在篮球投射出去时是做斜抛运动，结合运动学原理来分析二分球的投篮方式来推出四分线投篮，二分线能忽略空气阻力影响。设计引入四分线的合理位置，实质上是计算射手投四分球时距离篮球筐的合理位置，采用抛物线模型进行计算，建立四分球投射模型，计算出四分线的位置，综合二分线模型推算出四分线的投篮距离。得到运动轨迹方程如下：222cos28tanyxvx对于二分球投篮，从出手的高度、出手速度、出手角度来分析计算。根据二分球计算出四分球，因素有出手速度、出手角度和投篮距离综合二分投篮，类比推理出四分线的投篮，着重计算分析投射的距离的位置和出手的角度。建立四分球模型轨迹如下：2tcos2vtvcosL参赛队号#37963在建立模型中，二分线因距离较近，可以不用考虑空气阻力和重力，但四分球模型位置较远，需要考虑重力和空气阻力，构建篮球运动轨迹方程，建立相关模型，最终得出四分线合理位置。三.模型的假设投篮命中的充要条件是球与篮筐接触时，球心落在篮筐的上方区域或球击中篮板的矩形区域。假设不考虑投篮时球自身的旋转情况。假设运动员投篮时出手高度不变，且能瞄准篮筐。假设两站点间的道路状况良好。每个运动员的出手速度是一样的。假设投射四分球时只在水平方向上受到阻力的影响。为简化模型，忽略场地因素的影响。参赛队号#37964四.符号的说明H篮球的高度D篮框的半径d篮球的半径g重力加速度篮球的出手速度篮球的入射角度V运动员的出手速度H篮球选手的出手高度tx轨迹方程水平方向的距离ty轨迹方程垂直方向的距离L篮球出手点到篮筐的距离0k二分球的出手高度对命中率影响系数1k二分球的出手高度对命中率影响系数2k二分球的出手高度对命中率影响系数3k二分球的出手高度对命中率影响系数参赛队号#37965五.模型的建立与求解1.针对问题一模型建立与求解首先确定运动员的素质个人表现、联盟球队的配合、球迷们的喜爱程度作为影响四分线是否引入的因素，并以此出发，分别分析，建立相关模型，分析引入四分线所产生的影响。确定影响因素的权重首先对所确定的主要影响因素进行量化处理,从而给出影响因素的量化值,不妨设强度集为{很强,较强,强,稍强,不强},对应的数值为5,4,3,2,1。根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数21[1()],13()ln,35axbxfxcxdx其中,,,abcd为待定系数，实际上强度为“很强”时则隶属度为1，即(5)f=1；当强度为“强”时，则隶属度为0.8，即(3)0.8f；当强度为“没有”时，则认为隶属度为0.01，即(1)0.01f；于是可以确定出1.1086a，0.8942b，0.3915c，0.3699d。将其代入（6）式可得隶属函数；21[11.1086(0.8942)],13()0.3915ln0.3699,35xxfxxx经计算(2)0.5245,(4)0.9126,ff则强度集{很强,强,较强,稍强,不强}的量化值为（1，0.9126，0.8，0.5245，0.01）。利用此量化值对影响因素进行赋权处理结果见表4；表1影响因素的权值表影响因素球迷们的喜爱程度整个联盟球队的配合球员素质个人的表现赋予值很强强比较强隶属值10.80.9126归一后权值0.370.290.34根据分析得到的影响四分线引入的因素权重的大小来分别展开来逐一分析。四分线的推出设立能够全面反映出一名射手的远投能力，搜索往年赛季数据，最出色的投手，数据如下表：表2统计数据球员命中数出手数命中率参赛队号#37966达米安利拉德185731.6凯文杜兰特61346.2斯蒂芬库里62722.2钱宁弗莱5683.3巴勃罗普里吉奥尼51435.7凯尔科沃尔41136.4凯尔洛里41723.5JR史密斯41822.2勒布朗詹姆斯42119.1贾马尔克劳福德42317.4路易斯威廉姆斯42614.3由数据可见，联盟中有些球员的投射能力越来越强了，在30英尺（9.14米）开外的投篮和23-24英尺（NBA三分线）附近的投篮一样简单。这也为四分线的引入提供了实施的可能。在NBA比赛中，组织好团队之间的战术配合，阵地的进攻尤为重要。为了增强说服性，寻找赛程数据进行分析。为了赛程数据转换为便于进行数学处理的数字格式，首先把赛期进行数字替换再将球队进行编号（具体的编号按照表），我们就可以将赛程进行数字转换，再利用EXCEL对影响因素值进行统计得到表（各球队各影响因素值的统计表）；表3各球队各影响因素值的统计表编号影响因素队名背靠背的次数1魔术162奇才183老鹰224山猫215热火196凯尔特人167猛龙15876人219篮网2010尼克斯1911活塞1612骑士1613步行者20参赛队号#37967编号影响因素队名背靠背的次数14公牛1515雄鹿2116黄峰1717马刺1618火箭1519小牛1520灰熊1621爵士2122掘金1823开拓者1624森林狼2225超音速1726湖人1927太阳1928勇士1429国王2230快船21为了便于表2中每一列数据做统一的比较，首先用极差规范化方法分别对相应的影响因素值作相应的规范化处理，背靠背的次数规范化后：130'130130min14maxmin2214jjjjjjjjjAAAAAA(1,2,..,30)j经计算