n阶行列式及行列式性质

上页下页返回一、全排列及其逆序二、n阶行列式的定义三、小结第二节n阶行列式上页下页返回一、全排列及其逆序1.概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n问题上页下页返回2.定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.nn个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.nnP由引例1233P.6nPn)1(n)2(n123!.n同理上页下页返回定义在n个不同元素的任一个排列中，如果其中两个元素的先后次序与标准次序不同，那么就称这两个元素构成了一个逆序．元素之间有多种方法，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3.排列的逆序32514逆序逆序逆序例如排列32514中，这里仅仅是规定，你也可以给出其他的规定，总之在规定之下与规定不同的序列就有了一个汉字来描述它…...上页下页返回例如排列32514中，32514逆序数为31010故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.上页下页返回计算排列逆序数的方法方法分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这n个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.n,n,,,121n,n,,,121n逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性上页下页返回例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;上页下页返回3251401031于是排列32514的逆序数为13010t.51的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;排列:32514上页下页返回例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.321211nnn解12,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn1nt2n32121nnn1n2n上页下页返回kkkkkk132322212122解0tkkk21112,2k当为偶数时，排列为偶排列，k当为奇数时，排列为奇排列.k112kkk112kkkkkk1323222121201122k上页下页返回二、n阶行列式的定义1.概念的引入三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa说明（1）三阶行列式共有项，即项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．上页下页返回（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如322113aaa列标排列的逆序数为,211312t322311aaa列标排列的逆序数为,101132t偶排列奇排列正号,负号.)1(321321333231232221131211ppptaaaaaaaaaaaa上页下页返回2.定义设有2nnn个数排成行列的数表nnnnnnaaaaaaaaa212222111211作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,2121nnpppaaa并带上符号,)1(t得到形如)1()1(2121nnppptaaa是这个排列的逆序数，形如(1)式的项共有！个，tn的项，其中nppp21为自然数1,2,,n的排列上页下页返回所有这些项的和nnppptaaa2121)1(,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaDn称为阶行列式，记作简记为),det(ija其中数ija是行列式D的),(ji元.上页下页返回在上述的定义中，行列式的定义是行排列是自然序列，每一项因子前方的符号由列排列的逆序数所决定。由对称性，行列式的定义也可以是列排列是自然序列，此时，每项因子前方的符号则由行排列的逆序数所决定，当然行列式的定义依然是来自于不同行不同列元素的代数和，但此时行排列和列排列都不是自然排列，那么此时，每项因子前方的符号则由行排列和列排列的逆序数之和所决定。如有兴趣，可仔细思考。上页下页返回说明1.行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2.阶行列式是项的代数和;n!n3.阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn4.一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa5.行列式的本质为数或代数式;6.对角线法则只适用于2阶和3阶行列式.上页下页返回n21)2(.12121nnn;21nn21)1(例3证明对角行列式上页下页返回n2111,212111nnnnntaaa.12121nnn证明(1)是显然的,下面证(2).若记,1,iniia则依行列式定义11,21nnnaaa上页下页返回0004003002001000432114321t.24例如上页下页返回例4计算上三角行列式.022211211nnnnaaaaaa上页下页返回展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,11npn因而展开式中不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa022211211nnntaaa2211121.2211nnaaa解.npn若,npn则,0nnpa所以只有同理可得上页下页返回同理可得下三角行列式nnnnaaaaaa212221110.2211nnaaa注由例4我们可以直接得出例3中（1）的结果．上页下页返回例5设nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112证明.21DD证由行列式定义得上页下页返回nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112nnnnpppnnppppppppptbaaa2121212121211上页下页返回由于,2121npppn所以.12211212121DaaaDnnnnppppppppptnnnnpppnnppppppppptbaaaD21212121212121nnnnppppppppptaaa212121211故上页下页返回例6已知1211123111211xxxxxf.3的系数求x上页下页返回解含的项有两项,即3x1211123111211xxxxxf对应于1243112234431taaaa1234112233441taaaa上页下页返回,1344332211)1234(xaaaat.213433422111243xaaaat.13的系数为故x上页下页返回2排列具有奇偶性.3计算排列逆序数常用的方法.1个不同的元素的所有排列种数为n!.n三、小结4行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.5阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.nn!n上页下页返回定义1设D211112221221nnnnnnaaaaaaaaaD.TTDD称为D的转置行列式，是通过互换行与列得到的112221112122nnnnnTnaaaaaDaaaa上页下页返回行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.121212(,,,)12,,,(1)nnniiiTiiiniiiAbbb121212(,,,)12,,,(1).nnniiiiiniiiiaaaA(),(),,,1,2,,.TijnnijnnijjiAaAbabijnL证：设由转置的定义知：根据行列式的定义，上页下页返回说明行列式中行与列具有同等的地位。性质2行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211上页下页返回证12112(,,,)1,,,(1)nnnnaaaｉｊｊｊｊｉｊｊｊｊｊ左边＝（ｋ）12112(,,,)1,,,=(1)nnnnaaaｉｊｊｊｊｉｊｊｊｊｊｋnnnniniinaaaaaaaaak212111211上页下页返回推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2行列式的某一行（列）中所有元素为零，则该行列式等于零．推论3设A为n阶方阵，k为数，则AA.nkk上页下页返回性质3若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.nnnjnjnnnjjnjjaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211则D等于下列两个行列式之和：nnnjnnjnjnnnjnnjnjaaaaaaaaaaaaaaaaaaD122211111122211111上页下页返回证由行列式的定义12112(,,,),,,(1)nnnaaaaｊｊｉｉｉ＇ｉ１ｉｉｉｉｉｎｉｉｉＤ＝（＋）12112(,,,),,,(1)nnnaaaｊｉｉｉｉ１ｉｉｉｎｉｉｉ＝12112(,,,),,,(1)nnnaaaｊｉｉｉ＇ｉ１ｉｉｉｎｉｉｉ＋上页下页返回nnnjnnjnjnnnjnnjnjaaaaaaaaaaaaaaaaaa122211111122211111性质4交换行列式的两行（列），行列式变号.上页下页返回11121n11121nn1n2nnnts1s2sns1s2sn1n2n1t2tnt1t2ntnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa即上页下页返回,(,),,,ijijsjtjtjsjbaistbabaLij证：设右边行列式为b则对任意j=1,2,,n,则等式左边111()1(1)tssnntsnnaaaatｊtｊsｊｊｊｊｊｊｊｊｊｊ111()1(1)tssnnttnnaaaasｊsｊtｊｊｊｊｊｊｊｊｊｊ11111111(1)(1)(1)(1)tttttsnnnnnssstnssjtjsjjjjjjjjnjjsjjjjjnjjjijjjjjtbbbbbbbbbLLLLLLLLLLLLLLLLLL（）（）上页下页返回推论4如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质5行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零．证明互换相同的两行，有.0D,DD上页下页返回s1s111121nn1n2nss2ssn2nnkaaaaaakalalalakaakls111121nns21ns1s2nn2snnsaaaaaaaaaaaa00.kl