n阶行列式的计算方法

n阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。例1计算二阶行列式D13。24解：D1314−32−224例2计算三阶行列式D1204−38。0−12解：D1204−381(−3)228004(−1)−0(−3)0−242−18(−1)0−12−142．利用n阶行列式的定义a11a12⋯a1nn阶行列式Da21a22⋯a2n∑(−1)τa1p1a2p2⋯anpn⋮⋮⋮(p1p2⋯pn)an1an2⋯ann其中ττ(p1p2⋯pn)，求和式中共有n!项。显然有a11a12⋯a1n上三角形行列式Da22⋯a2na11a22⋯ann⋱⋮anna11下三角形行列式Da21a22⋱a11a22⋯ann⋮⋮an1an2⋯annλ1对角阵Dλ2λ1λ2⋯λn⋱λn另外Dλ2λ1n(n−1)(−1)2λ1λ2⋯λn⋰λn例3计算行列式0⋯0100⋯200Dn⋮⋮⋮⋮n−1⋯0000⋯00n解Dn中不为零的项用一般形式表示为a1n−1a2n−2⋯an−11annn!.该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于(n−1)(n−2)，故2Dn(−1)(n−1)(n−2)n!.23．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即DDT。注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。性质2交换行列式的两行(列)，行列式变号。推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。性质3用数k乘行列式的某一行(列),等于用数k乘此行列式,即a11a12⋯a1na11a12⋯a1n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯D1kai1kai2⋯kainkai1ai2⋯ainkD。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1an2⋯annan1an2⋯ann第i行(列)乘以k，记为rik(或cik)。推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，a11a12⋯a1n⋯⋯⋯⋯Dbi1ci1bi2ci2⋯bincin。⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann则a11a12⋯a1na11a12⋯a1n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯Dbi1bi2⋯binci1ci2⋯cinD1D2。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1an2⋯annan1an2⋯ann性质5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式不变。xa⋯例4计算Dnax⋯⋮⋮aa⋯r(r⋯r)12n解Dn[x(n−1)a]aa⋮。x11⋯1ax⋯a⋮⋮⋮aa⋯x11⋯1[x(n−1)a]0x−a⋯0⋮⋮⋮00⋯x−a[x(n−1)a](x−a)n−1例5一个n阶行列式Dnaij的元素满足aij−aji,i,j1,2,⋯,n,则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由aij−aji知aii−aii，即aii0,i1,2,⋯,n故行列式Dn可表示为0a12a13⋯a1n−a120a23⋯a2nDn−a13−a230⋯a3n⋯⋯⋯⋯⋯−a1n−a2n−a3n⋯0由行列式的性质DDT0−a12−a13⋯−a1na120−a23⋯−a2nDna13a230⋯−a3n⋯⋯⋯⋯⋯a1na2na3n⋯00a12a13⋯a1n−a120a23⋯a2n(−1)n−a13−a230⋯a3n⋯⋯⋯⋯⋯−a1n−a2n−a3n⋯0(−1)nDn当n为奇数时，得Dn−Dn，因而得Dn0。4．利用行列式按行（列）展开ai1Aj1ai2Aj2⋯ainAjnDijj1,2,⋯,n)i≠(i,0j1−53−3例6计算D201−1。31−12413−1160−2716−27201−1解D(−1)3221−131−1214−3104−32005(−1)(−1)22205(−1)21−1−55−701−715．利用化上三角形法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤：（1）观察元素a11，若不为1通过变换化为1；（这可以通过对调两行或两列实现，有时也可以把第一行或第一列乘1来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加a11困难。）（2）对第一行分别乘−a21,−a31,⋯,−an1加到第2,3,⋯n行对应元素上去；（目的：第一列a11以下的元素全部化为零）（3）用类似的方法把主对角线元素a21,a31,⋯,an1以下的元素全部化为零。这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素aii,(i1,2,⋯n)不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零。1−53−3例7计算D201−1。31−12413−11−53−31−53−31−53−3解D010−55502−11(−5)0111016−101100−2300−23021−911011102−111−53−31−53−30111(−5)0111(−5)−5500−230−2301100−3−1000−26．利用递推公式递推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn−1或Dn与Dn−1,Dn−2之间的一种关系——称为递推公式（其中Dn,Dn−1,Dn−2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例8证明