大学物理课后习题及答案(2)

习题二2-1质量为m的子弹以速率0v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。[解]设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力f=-kv(1)由牛顿第二定律tvmmafdd即tvmkvdd所以tmkvvdd对等式两边积分tvvtmkvv0dd0得tmkvv0ln因此tmkevv0(2)由牛顿第二定律xvmvtxxvmtvmmafdddddddd即xvmvkvdd所以vxmkdd对上式两边积分000ddvsvxmk得到0vsmk即kmvs02-2质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为mktekFmgv1[证明]任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得tvmmafFmgddmgFfy0即tvmmakvFmgdd整理得mtkvFmgvdd对上式两边积分tvmtkvFmgv00dd得mktFmgkvFmgln即mktekFmgv12-3跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kvF。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率Tv。[解]设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为Tv，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。此时2Tkvmg即kmgvT有牛顿第二定律tvmkvmgdd2整理得mtkvmgvdd2对上式两边积分mgkmtkvmgvtv21dd002得mtvkmgvkmgln整理得T22221111veekmgeevkgmtkgmtkgmtkgmt2-4一根线密度为的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面的瞬时作用力。[解]链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s段对桌面的压力1N，另一部分是正在下落的xd段对桌面的冲力2N，桌面对xd段的作用力为2N。显然sgN1t时刻，下落桌面部分长s。设再经过td，有xd落在桌面上。取下落的xd段链条为研究对象，它在td时间之内速度由gsv2变为零，根据动量定理ptNdd2(1)xvpd0d(2)tvxdd(3)由(2)、(3)式得sgN22sgNN222故链条对桌面的作用力为sgNNN3212-5一半径为R的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为m的小球正以角速度沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的高度。[分析]小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。[解]设小球的运动水平面距碗底的高度为h，小球受力如图所示，则mgNsinrmN2cosRhRsinRrcos由以上四式得RgRh212-6一飞车运动员在一个呈锥形内表面的演出舱内进行表演。若人与车的质量为m，锥面的半顶角为。飞车运动员恰好在一水平面内作匀速率圆周运动，其速率为0v。忽略摩擦阻力，试作飞车运动员及车的受力图，并将mgrNhRNrmg圆周的半径用0v、g和表示之。[解]飞车运动员的及车的受力如图所示，设其距锥面顶点的高度为h，则mgNsinrvmN20cos联立两式得gvrcot202-7在光滑的竖直圆环上，套有两个质量均为m的小球A和B，并用轻而不易拉伸的绳子把两球联结起来。两球由图示位置开始释放，试求此时绳上的张力。[解]小球A和B受力如图，因绳子不可伸长，开始释放时球的速度为零，小球A和B的切向加速度ta相等，法向加速度为零，则对A球t4sinmaT对B球t4sinmaTmg由上面两式得22mgT2-8一人造地球卫星质量m=1327kg，在离地面61085.1hm的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f的大小；(2)卫星的速率v；(3)卫星的转动周期T。[解]卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力2ehRmMGf地2eRMGg地由上面两式得N1082.71085.11063781063788.913273263232e2ehRRmgf(2)由牛顿第二定律hRvmfe2sm1096.613271085.11063781082.73633emhRfv(3)卫星的运转周期2h3min50ss1043.71096.61085.1106378223363evhRTmABTmmg2-9试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。[解]设同步卫距地面高度为h，距地心为R+h，则22mrrMmGmgRMmG2所以2gRGM代入第一式中3122gRrsrad1027.736002425解得mr71022.4m1058.31037.61022.4467Rrh2-10自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每颗子弹的质量为m＝7.90g，出口速率为735sm，求射击时(以分钟计)抢托对肩的平均压力。[解]取t时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均力为N，根据动量定理得ptN所以N6.117351090.7220601203mvttvmtpN故枪托对肩部的平均压力为N6.11NN2-11水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。设水柱直径为D=30mm，水速v=56sm，水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。求水柱对煤层的平均冲力。[解]取长为dx的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为N，根据动量定理ptNdd所以2224d2d0ddvDtvDxtpNN1022.2561014103032323故水柱对煤层的平均冲力N1022.23NN2-12F＝30+4t的力作用在质量为10kg的物体上，求：(1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于300sN，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为10sm，方向与F相同，在t=6.86s时，此物体的速度是多少?[解]根据冲量定义200230d430dtttttFItt(1)开始两秒钟此力的冲量sN6822230230222ttI(2)当sN300I时3002302tt解得s86.6t(3)当s86.6t时，sN300I，根据动量定理0mvmvpI因此sm401010103000mmvIv2-13质量为m的质点，以不变速率v沿图示三角形ABC的水平光滑轨道运动。求质点越过角A时，轨道作用于质点冲量的大小。[解]如图所示，质点越过A角时动量的改变为12vvpm由图知p的大小mvmvp360sin20根据动量定理mvpI32-14质量为m的质点在xOy平面内运动，其运动方程jirtbtasincos，试求：(1)质点的动量；(2)从t＝0到2t这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点的动量是否守恒?为什么?[解]质点的速度jirvtbtatcossindd(1)(1)质点的动量mv2mv1pAjivptbtammcossin(2)由(1)式得0t时，质点的速度jvb02t时，质点的速度为jjivbba2cos2sint根据动量定理00tmvmvpI解法二：jiaFjivajirvtmbwtmamtbwtattbtatsincossincosddcossindd22220dsincosd202220ttmbwtmatjiFI(3)质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t变化。2-15将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h处将石子以每秒n个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为m。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后t秒时，台秤的读数。[解]t秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力1N，另一部分是正下落的石子对秤的冲力2N，显然nmgtN1取t时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为N，根据动量定理ghtnmtvnmptN2002所以ghnmN22故t时间下落的石子对称的冲力ghnmNN222因此秤的读数为ghnmnmgtNNN2212-16以速度0v前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮车的仰角为，炮弹和炮车的质量分别为m和M，炮弹相对炮车的出口速率为v，如图所示。求炮车的反冲速率是多大?[解]以大地为参照系，取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象，系统水平方向的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速度的水平分量为vvcos，根据动量守恒定律vMvvmvmMcos0所以mMmvvmMvcos0此即为炮车的反冲速率。2-17一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g，在A、B两位置处的速率都是20sm，Av与x轴成045角，Bv与y轴垂直，求质点由A点运动到B点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。[解]由题意知，质点由A点到B点动量的改变为smkg683.02220102020102045cos330ABxmvmvpsmkg283.02220102045sin030Aymvp根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量xxpIyypI所以sN739.0283.0683.0222y2x2y2xppIII冲量与x轴之间的夹角0xg5.202683.0283.0arctanarctanII2-18若直升飞机上升的螺旋浆由两个对称的叶片组成，每一叶片的质量m＝136kg，长l=3.66m。当它的转速n=320minr时，求两个叶片根部的张力(设叶片是均匀薄片)。[解一]设叶片的根部为原点O，作径向Or轴，在叶片上距O点为r处取一线元rd，则rmdd，其两边所受的张力如图所示。根据圆周运动沿径向的动力学方程，有rrlmmrTTTddd22即rrlmTdd2对上式积分，并考虑到叶片的外端r趋近于l时，张力0T，则lrTrrlmTdd20因此距O点为r处叶片中的张力为222222222rllmnrllmT式中负号表明T指向O点。取r=0，代入题中所给数据，得叶片根部张力N1079.225220lmnT[解二]任意时刻t叶片的动量mlnlmnrlmrnrlmrmvpll602602d602dd00t经过dt时间，叶片动量的改变tnptpppd602dddttt叶片根部所受的作用力mlnnptpF222t602602ddN1079.266.313660320252222-19如图所示，砂子从h