坐标旋转变换

坐标旋转变换空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系，这个过程就叫做坐标旋转。在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系，这种转换关系可以用转换矩阵来表示。如图1，直角坐标系XYZ，P点的坐标为),,(zyx，其相应的在XY平面，XZ平面，YZ平面分别为)0,,(yxM，),0,(zxQ和),,0(zyN。),,(zyxPOxyz)0,,(yxM),,0(zyN),0,(zxQ图1直角坐标系XYZ设ϑ表示第j轴的旋转角度，()Rjϑ表示绕第j轴的旋转，其正方向是沿坐标轴向原点看去的逆时针方向。很明显当j轴为旋转轴时，它对应的坐标中的j分量是不变的。由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕z轴旋转为例推导其旋转变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。设图1的坐标绕Z轴逆时针旋转θ角度，新坐标为'''ZYX，如图2所示：)',','(|),,(zyxzyxPOXY)'(ZZ)0,','(|)0,,(yxyxM)',',0(|),,0(zyzyN)',0,'(|),0,(zxzxQ'X'Yθθ图2坐标绕Z轴逆时针旋转θ角度由于坐标中的z分量不变，我们可以简化地在XY平面进行分分析，如图3所示：XY'X'Yθθ)0,','(|)0,,(yxyxM'XMXMϕO图3坐标绕Z轴逆时针旋转θ角度的XY平面示意图点XM和点'XM分别是M点在X轴和'X轴的投影。如图3⎩⎨⎧−=∠==−=∠==)sin(sin)cos(cosθϕθϕOMMOMOMMMyOMMOMOMOMxXXXX(1)⎩⎨⎧=∠===∠==ϕϕsinsincoscos'''''OMMOMOMMMyOMMOMOMOMxXXXX(2)把(1)式按照三角函数展开得：⎩⎨⎧−=+=θϕθϕθϕθϕsincoscossinsinsincoscosOMOMyOMOMx(3)把(2)式代入(3)式得：⎩⎨⎧+−=+=θθθθcos'sin'sin'cos'yxyyxx(4)坐标中的z分量不变，即'zz=这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表示就坐标）：⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+='cos'sin'sin'cos'zzyxyyxxθθθθ(5)把式(5)用一个坐标旋转变换矩阵()θRZ表示可以写成：()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''zyxzyxZθR(6)()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1000cossin0sincosθθθθθRZ(7)坐标系'''ZYX是坐标系XYZ绕Z轴逆时针旋转θ角度而来，从另一个角度来看，也可以说坐标系XYZ是坐标系'''ZYX绕'Z轴逆时针旋转θ−角度而来，所以根据(6)式有（上标1−表示矩阵的逆）：()()()θRθRθR−=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−ZZZzyxzyx1'''(8)用同样的分析办法，当绕X轴逆时针旋转θ角度其YZ平面分析如图4所示：YZ'Y'Zθθ)',0,'(|),0,(zxzxN'YNYNϕO图4坐标绕X轴逆时针旋转θ角度的YZ平面示意图其坐标转换关系为：⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+='cos'sin'sin'cos'xxzyzzyyθθθθ(9)()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=θθθcossin0sincos0001θXθR(10)()()θRθR−=−XX1(11)当绕Y轴逆时针旋转θ角度得其XZ平面分析如图5所示（注意和前面两个角度方向不一样）：XZ'X'Zθθ)',',0(|),,0(zyzyQ'XQXQϕO图5坐标绕Y轴逆时针旋转θ角度的XZ平面示意图⎪⎩⎪⎨⎧=+=−='cos'sin'sin'cos'yyzxzzxxθθθθ(12)()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=θθθcos0sin010sin0cosθYθR(13)()()θRθR−=−YY1(14)