第三讲--一次函数的应用题(培优答案)

1第三讲一次函数的应用（培优）1.已知A、B两地相距4千米。上午8:00，甲从A地出发步行到B的，8:20乙从B地出发骑自行车到A地，甲乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间(分)之间的关系如图所示。由图中的信息可知，乙到达A地的时间为A、8:30B、8:35C、8:40D、8:452.小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家,行驶了5分钟后，因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家.下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的．．．距离．．s(千米)与所用时间t（分）之间的关系().3.先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如图7)，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图8)，若AB＝4，BC＝3，则图7和图8中点B点的坐标为，点C的坐标时间/分206024距离/千米24.“五一黄金周”的某一天，小刚全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩，该小汽车离家的距离S(千米)与时间t(时)的关系可以用图6的折线表示。根据图象提供的有关信息，解答下列问题：(1)小刚全家在旅游景点游玩了多少小时？(2)求出返程途中S(千米)与时间t(时)的函数关系式，并求出自变量t的取值范围。图6·→↑··601201808101415S(千米)t(时)5.某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等.信息二：如下表：设购买杨树、柳树分别为x株、y株.(1)用含x的代数式表示y；(2)若购买这三种树苗的总费用为w元，要使这500株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数之和不低于．．．120，试求w的取值范围.解:⑴4002yx.树苗杨树丁香树柳树每棵树苗批发价格（元）323两年后每棵树苗对空气的净化指数0.40.10.23⑵根据题意,得0.40.10.240029040020xxxx解这个不等到式组得:100≤x≤200----------------(5分)∵3234002wxxx1200x-----------------------------------------------------------------(6分)（法1）∴x=1200-w∴100≤1200-w≤200解得1000≤w≤1100.-----------------------------------------------------------(8分)（法2）.又∵w随x的增大而减小，并且100≤x≤200，∴-200+1200≤w≤-100+1200，即1000≤w≤1100----------------(8分)6.国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度.某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销.医疗费的报销比例标准如下表：费用范围500元以下（含500元）超过500元且不超过10000元的部分超过10000元的部分报销比例标准不予报销70%80%（1）设某农民一年的实际医疗费为x元（500＜x≤10000），按标准报销的金额为y元，试求y与x的函数关系式；（2）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费＝实际医疗费－按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？（3）若某农民一年内自付医疗费不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？解：(1)y=107(x-500)(500＜x≤10000)-(注：不说明范围的不扣分)--2′(2)设该农民一年内实际医疗费为x元则当x≤500时，不合题意，---------------------3′当(500＜x≤10000)时，有500＋(x-500)×0.3=2600解之得：x=7500（元），答：（略）----5′(不答不扣分)(3)设该农民一年内实际医疗费为x元，∵500+(10000-500)×0.3=33504100，∴x10000-----------6′根据题意有：500＋(10000-500)×0.3+(x-10000)×0.2≥4100-----7′解之得：x≥13750，答：（略），(不答不扣分)----8′7．某厂生产一种零件，每个成本为40元，销售单价为60元。该厂为了鼓励客户购买，决定当一次购买零件超过100个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低0.02元，但不能低于51元。（1）当一次购买多少个零件时，销售单价恰为51元？4（2）设一次购买零件x个时，销售单价为y元，求y与x的函数关系式；（3）当客户一次购买500个零件时，该厂获得的利润是多少？当客户一次购买1000个零碎件时，利润又是多少？（利润=售价－成本）（1）设当一次购买x个零件时，销售单价为51元，则（x－100）×0.02=60－51，解得x=550。答：当一次购买550个零件时，销售单价为51元。（2）当0＜x≤100时，y=60；当100＜x≤550时，y=62－0.02x；当x＞550时，y=51。（3）当x=500时，利润为（62－0.02×500）×500－40×500=6000（元）。当x=1000时，利润为1000×（51－40）=11000（元）。答：当一次购买500个零件时，该厂获得利润为6000元；当一次购买1000个零件时，该厂获得利润11000元。8.在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x(元/千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次函数．…………………1′设y＝kx＋b，∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，∴．，bkbk242500252000解之得：．，14500500bk销售价x（元/千克）…25242322…销售量y（千克）…2000250030003500…5∴y＝－500x＋14500．………4′（2）P＝（x－13）·y＝（x－13）·（－500x＋14500）＝－500x2＋21000x－188500＝－500（x－21）2＋32000．∴P与x的函数关系式为P＝－500x2＋21000x－188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润．9.如图，在平面直角坐标系中，两个函数621,xyxy的图象交于点A，动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S，（1）求点A的坐标。（2分）（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。（4分）（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。（2分）（4分）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。（2分）1）由,621,xyxy可得.4,4yx∴A（4，4）。（2分）（2）点P在y=x上，OP=t，则点P坐标为).22,22(tt点Q的纵坐标为t22，并且点Q在621xy上。6∴txxt212,62122，即点Q坐标为)22,212(tt。tPQ22312。（4分）当tt2222312时，23t。当时230＜t，.2623)22312(222ttttS（5分）当点P到达A点时，24t，当2423＜t＜时，2)22312(tS（6分）144236292tt。（3）有最大值，最大值应在230＜t中，,12)22(2312)824(232623222tttttS当22t时，S的最大值为12。（8分）（4）212t。（10分）10.正方形ABCD的边长为10cm，今由B点出发，沿BC、CD边到D点，若由B到P时，走了xcm，2cmySABP，求：7（1）当P点在BC上时，用x表示y；（2）当P点在CD上时，求x的取值范围；（3）当P点在BC上时，怎样用x表示y？（1）y=5x；（2）2010x；（3）y=5011.平面直角坐标系中，P（2,1）、Q（4，2），取点P（1，m），当m为何值时，PR+RQ有最小值52m12.设直线2)1(ynnx（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为)2000,,2,1(nSn，则200021SSS的值为_____________2001200013.如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线bxy31恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求b2114.直线133xy与x轴、与y轴的交点分别为A、B，以线段AB为直角边在第一象限内做等腰直角三角形ABC，oBAC90，如果在第二象限内有一点P(21,a)，且三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等，求a28315.A市与B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台，8已知从A市调运到C市、D市的运费分别为每台400元和800元，从B市调运到C市、D市的运费分别为每台300元和500元，（1）设B市运往C市机器x台，求运费y（元）关于x的关系式；（2）若总运费不超过9千元，问有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？16.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为21）（nn，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝21）（nn．（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）解：（1）9………………………………………………………3′因为组成此平行四边形的小圆圈共有n行，每行有[（2n－1）＋1]个，即2n个，所以组成此