空间直线与平面总结知识结构图-例题

1/19【同步教育信息】一.本周教学内容：期中复习［知识串讲］空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4(a//b,b//ca//c)线面平行判定//,//abab面面平行判定1ababa//,//面面平行性质ababAab,//,////线面平行性质aabab////面面平行性质1////aa面面平行性质//////Abaab2.线线、线面、面面垂直关系的转化：2/19线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理PAAOPOaaOAaPOaPOaAO,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定ababOlalbl,,aa线面垂直定义lala面面垂直性质，推论2baaba,aa面面垂直定义ll，且二面角成直二面角3.平行与垂直关系的转化：线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2线面垂直性质2面面平行性质3abab//abab//aa////aaa4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：（三）空间中的角与距离1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°3/19（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（时，∥或）0bb（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。简单几何体：（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱SV4/19（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）hS31V底锥定理：截面与底面平行则有221hhSS底截正棱锥的性质OEBRtn180sin2aa41rhlRSEBRtcosra41lrhhSOERtsinlsinhRlhSOBRt2222222222图）及元素之间的关系四个直角三角形（如上全等的等腰三角形侧棱都相等，侧面都是OOOOSS11221是两个平行截面且、如图）（与定比分点公式比较则1SSS215/19概率与统计（一）散型随机变量的分布列性质：1pp21i0p21i，，二项分布：)p1q(npqDnpE)pnk(bqpC)pn(B~knkkn，，，，，i21xxxpi21ppp若ba则baE)ba(EEDa)ba(DD2期望：nn2211pxpxpxE方差：n2n222121p)Ex(p)Ex(p)Ex(D（二）抽样方法分层抽样系统抽样简单随机抽样【典型例题】例1.如图，在四面体ABCD中作截面EFG，若EG，DC的延长线交于M，FG、BC的延长线交于N，EF、DB的延长线交于P，求证M、N、P三点共线。证明：由已知，显然M、N、P在平面EFG上又M、N、P分别在直线DC、BC、DB上6/19故也在平面BCD上即M、N、P是平面BCD与平面EFG的公共点∴它们必在这两个平面的交线上根据公理2.M、N、P三点共线例2.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（）52.D53.C210.B23.A分析：如图，取AB中点E，CC1中点F连结B1E、B1F、EF则B1E//AM，B1F//NC∴∠EB1F为AM与CN所成的角又棱长为1BEBFEF11525262，，cosEBFBEBFEFBEBF11212211225∴选D例3.已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：lm①②③④///////lmlmlmlm其中正确的两个命题是（）A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③分析：对于①①正确llmlm//对于②，如图lamlm///∴②错7/19对于③③正确llmmm//对于④，如图llmm///∴④错∴①③正确，选D例4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO∵底面ABCD是正方形∴点O是AC中点又E为PC中点∴EO//PA又面，且面EOEDBPAEDB∴PA//面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD∴BC⊥PD又且BCDCPDDCD∴BC⊥面PDC∴BC⊥DE又E为等直角三角形中点DEPCPCBCC且∴DE⊥面PBC∴DE⊥PB又已知且EFPBEFDEE∴PB⊥面DEF例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。8/19证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C则面，面及AEBBCCAEBBCCEBEC11111111//AEBBCCABBCEBBCEBECECBCAEBBCCACBC面面1111111111111111//注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。例6.下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。（1）D1PC1MA1B1lDCABN（2）D1C1A1B1lNMDCPAB（3）D1C1A1PB1NlDCMAB分析：①在侧面的射影显然与、垂直lMPMNMPlMNllMNP，面②显然分别与在底面上射影垂直及与垂直lMNMPlMNP面③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直∴l⊥面MNP9/19例7.如图，斜三棱柱中，，，，ABCABCACABAAACAB''''''810∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。（）求证：面面；1AACCABC''（）求侧面的面积。2AABB''分析：要证明面面，只要证明面，又，只要AACCABCBCAACCBCAC''''证明，故只要证明平面。BCACACABC'''证明：（）∵为菱形1AACC''ACAC''又面ACABACABCACBC'''''又∠ACB=90°，即AC⊥BCBCAACC面''又面面面BCABCABCAACC''（）作于2ADACD'面面，为交线AACCABCAC''ADABC'面°与底面成的角，即∠为侧棱∠60AC'AAAAD'A过作于，连结，则DDEABEAEAEAB''又，ADAD860486043cos'sin∴D为AC中点在中RtABCDEBCADABDE4610125AEADDE''()()222243125852110/19SABAEAABB平行四边形'''1085211621例8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如图）。求：（1）C到A’D的距离；（2）D到平面A’BC的距离；（3）A’D与平面A’BC所成角的正弦值。解：（1）∵二面角A’－DE－B是直二面角又A’E⊥ED，CE⊥ED∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED作EF⊥A’D于F，连结CF，则CF⊥A’D∴CF即为C点到直线A’D的距离在Rt△A’ED中，EF·A’D=A’E·EDEF435125FCEFEC222212544345()/BC'ADEBC'ABCBC//DE2面，面，）（∴DE//面A’BC∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离过E作EM⊥A’C于M∵ED⊥面A’EC又BC//ED∴BC⊥面A’EC∴BC⊥EM∴EM⊥面A’BC∴为点到平面的距离即为点到面的距离且EMEABCDABCEM''=22或者用体积法：由VVDABCABCD''即1313ShSAEABCBCD''11/19hSAESBCCEAEBCACBCDABC''''121222（）设与平面所成角为3ADABC''5D'A22hBC'AD2及的距离为点到面）知又由（sin'hAD225例9.如图，直三棱柱中，∠°，，，侧棱ABCABCACBACCB1119012AAAABBDBCM111111，侧面的两条对角线交点为，的中点为。（）求证：平面；1CDBDM（）求面与面所成二面角的大小。21BBDCBD（1）证明：连结，则CACABC112又为中点①DABCDBD1易知面ACBBCC11CBCDBBCC111是在底面上射影故只要BMCB1设BMCBE1在和中RtCBBRtBBMCBBBBBMB1111121122°∠又∠90MBBCBB11RtCBBRtBBM11~∠∠BCBBBM11又∠∠°BBMCBM19012/19∠∠°∠°BCBCBMCEB19090BMCBBMCD1②由①②知面CDBDM（2）解：AB12312BDBDBB111即△为正三角形，取中点，则BDBBDFBFBD11又取BC中点N，连结NFNFCD//12又CDBDNFBD∠为所求二面角的平面角NFB1又，BNCDBCBD12222222162211()NFBF12321，在△中由余弦定理DCB1cos()()()∠NFBFNFBNBFNFB12121222221232622123233所求二面角为arccos33例10.将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验，如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于9时，则称为这次试验成功。（1）求一次试验成功的概率；（2）在试验成功的所有情况中，以表示两次抛掷的骰子出现的点数和，求的概率分布列及数学期望。解：（1）两次抛掷出现点数之和大于9的有（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6）61666p一次成功的概率为（2）在成功的条件下，ξ=10，11，1261)12(P3162)11(P2163)10(P，，且∴ξ的概率分布列为ξ101112p213161332611231112110E13/19【模拟试题】一.选择题1.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（）A.成异面直线B.相交C.平行D.平行或相交2.已知直线a，b，平面，，，有下列四个命题①aa//////，；②/////