8-1多元函数的极限与连续.

大课课时安排章数八九十十一十二总次数讲课次数7588735推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第一节一、平面点集n维空间二、n元函数三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的极限与连续第八章的映射mnRRδ00PP一、平面点集n维空间1.平面点集点集称为点P0的邻域.坐标平面上具有某种性质P的点的集合，),(),(0yxPUδ说明：若不需要强调邻域半径,也可写成.)(0PU点P0的去心邻域记为δ0PP在平面上,称为平面点集，记作.,,PyxyxE所具有的性质(1)邻域设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若点P的任一邻域U(P)中既有属于E的点，也有E则称P为E的内点,例如；则称P为E的外点，例如;则称P为E的边界点，例如.不属于E的点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.PP3P(2)内点、外点、边界点1P2P3P12(3)聚点若对任意给定的正数,点P的去心E邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E.聚点可以为E的内点或E的边界点注1º内点一定是聚点；2º边界点可能是聚点,也可能不是聚点；但的点属于E,的点不属于E.则点集中的点都是E的内点；点集中的点都是E的聚点，}3),({223yxyxE和E例如:设点集xyoD(4)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若点集E中任意两点开区域连同它的边界一起称为闭区域.E的折线相连,连通的开集称为开区域,简称区域;E的边界点的全体称为E的边界,记作E;如，是闭集、连通集、闭区域.都可用一完全属于则称E是连通集;是开集、连通集、是区域；例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21整个平面点集1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.11oxy对点集E,若存在正数K,使对一切点PE,P与原点O的距离OPK,则称E为有界点集；否则，称为无界点集.2.n维空间n元有序数组的全体所构成的,Rn中的每一个元素称为该点或该n维集合,记作即RRRRn一个点或一个n维向量,当所有坐标称该点为nR中的坐标原点,记作0.或n维零向量,向量的第k个坐标.nR称为中的nR),,,(21nyyyy与),,,(R21nnxxxx中的向量对于以及实数λ，规定,),,,(2211nnyxyxyxyx,),,,(21nxλxλxλxλ称引入了上述线性运算的集合为nR.)(空间实维n的距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyxP),,,(21nyyyy与点),,,(R21nnxxxx中的点规定为,),(yxyxP或),,,(R21nnxxxx中的点与零元0的距离为22221nxxxx.,3,2,1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元若.ax记作并称x为向量x的模.,yxRn与中的向量于是，对于yx则称显然,ax.,,2211nnaxaxax它们的差为的极限，为变元xa中点a的邻域为nR二、n元函数1.n元函数的映射mnRR引例:圆柱体的体积hr定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式cba定义8.1设非空点集映射称为定义在D上的n元函数,记作点集D称为函数的定义域;数集DxxfDf)()(称为函数的值域.的子集1Rn),,,,(),,,,(2121nnxxxfyyxxxfnDxxx),,,(21特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数二元函数的定义域一般地,二元函数的图形为空间曲面.z=f(x,y),(x,y)D是平面点集.,)sin(yxz2R),(yx例如,二元函数221yxz定义域为}1),{(22yxyxD圆域图形为中心在原点的上半球面.又如,,e)(22yxz,e22yxxyz三元函数的定义域是三维空间的点集.)arcsin(222zyxu的定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球如,三元函数的映射mnRR.2质量为m0对位于Ω内质量为m的质点M的引力为引例的质点设非空点集映射称为定义在D上的一个n元向量值函数,记作当m=1时,就是定义8.1中的n元函数,当n=1时,就是第七章讲的一元向量值函数.定义8.2向量值函数的几何或物理意义举例平面曲线的方程或平面质点随时间运动的轨迹.空间曲线的方程或空间质点随时间运动的轨迹.平面向量场或平面到平面的坐标变换.曲面的方程或一族空间曲线(当固定x或y).三、多元函数的极限1.定义8.3设二元函数,R,)()(2DPyx,fPf，DδPUyxP),(),(0则称A为函数，或APfPP)(lim0.),(lim00Ayxfyyxx或P0(x0,y0)是D的聚点,若存在常数A,对于一切记作Ayxfyxyx),(lim)0,0(),(总有使得0,0,注3º关于二元函数的极限概念，可相应地推广到n元函数u=f(P),PDRn上去;1º在二元函数极限定义中，PP0是指在平面上位于D内以任意方式趋于P0；P0yxO2º二元函数的极限又称为二重极限;Oxx0Axfxx)(lim0对比：一元函数极限4º二元函数的极限运算法则与一元函数类似．2.求二重极限的常用方法(1)利用定义求证:证.01sin)(lim222200yxyxyx0),(yxf22221sinyxyx22yx例122221sin)(),(yxyxyxf,0故取01sin)(2222yxyx要使220yx只要01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx当时，22)0()0(0yx原结论成立．01sin)(2222yxyx?则,例2(2)用变量代换化二重极限为一元函数的极限..11lim00yxyxyx求解,11),(yxyxyxf}1,0),{(yxyxyxD11lim00yxyxyxyxt令11lim0ttt)11(lim0tt.2xy1yx0yxO求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1yxu2例3(3)利用夹逼准则，重要极限222yxyx2220yxyxx21,000yx0lim22200yxyxyx由夹逼准则，可知22200)sin(limyxyxyx从而)0(22yx2222200)sin(limyxyxyxyxyx01.0(4)利用极坐标变换，将二重极限化成时的极限)(0任意变化解.)(lim2200yxxxyyx求极限)0(,sin,cos22yxyx令cos)cos(sinlim)(0任意cos)cos(sinlim)(0任意例42200)(limyxxxyyx2cos)cos(sin0lim0.0P0趋向于),(000yxP，若与k有关，则可断言:二重极限.),(lim00不存在yxfyyxx3.确定极限不存在的方法：的值)(lim)(0PfDLPPP令),(yxP沿直线)(:00xxkyyL(1)xyO)(lim)1(0PfDLPPP)(lim)2(0PfDLPPP.),(lim00不存在则yxfyyxx找两条特殊路径L1，L2，若(2)P0yxOL1L2例5证明下列极限不存在：(1);lim00yxyxyx;lim)2(2200yxxyyx.lim)3(26300yxyxyx证(1)yxyxyxf),(}),{(yxyxD定义域xyOy=x),(lim00yxfyxxyoy=x100lim0xxx),(lim00yxfxy100lim0yyyyxyxyxf),(),(lim),(lim0000yxfyxfxyyx.lim00不存在yxyxyx)0,(lim0xfx),0(lim0yfy(2)2200limyxxyyx分析22),(yxxyyxf000lim),(lim22000xxyxfxyx000lim),(lim22000yyyxfyxy存在？能否说2200limyxxyyx不能！xyO证2200limyxxykxyx220)(limkxxkxxx21kk其值随k的不同而变化，.lim2200不存在yxxyyx26300lim)3(yxyxyx分析263),(yxyxyxf),(lim00yxfkxyx2420limkxkxx.0存在？能否说26300limyxyxyx不能！xyO2630)(limkxxkxxx证取,3kxy263003limyxyxkxyx626330limxkxkxxx,12kk其值随k的不同而变化，故该极限不存在．263),(yxyxyxf例6是否存在？极限问：yxxyyx00lim分析yxxyyxf),()1(lim),(lim000kkxxkxxyxfxkxyxkkxx1lim0.0存在？能否说yxxyyx00lim不能！xyOy=-x证取xxyxyx22,即yxxyxxyx002lim220)(limxxxxx1)1(lim0xx000limlim000xxyxxyxyxyxxyyxf),(.lim00不存在极限yxxyyx问：下列推导是否正确？)43(sincossincoslimlim000πθθρθρθρθρyxxyρyxsincossincoslim00答：不正确.错误原因：，对于确定的θ0)sin,cos(lim0f0),(lim00yxfyx时只有当任意变化0)sin,cos(lim)(0f0),(lim00yxfyx事实上，时，当xxy2coscossin222coscossin即coscossin22)sin,cos(lim)coscossin(02fsincossincoslim)coscossin(02此值与θ有关，原极限不存在.sincos)coscos(coscoscossinlim2201)1cos(lim00)sin,cos(lim)0(0f四、多元函数的连续性定义8.4),()(yxfPf定义在D上,),,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx),(),(000yxPyxf在点如果函数在D上各点处都连续,,00DPDP的聚点，且为如果则称的间断点.则称函数连续.连续.记作).(),(DCyxf定义8.5),(yxf定义在D上,)