49电大考试题

《高等代数专题研究》期末练习下面给出《高等代数专题研究》两组练习，供期末复习练习参考。模拟练习之一一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.令Q＋是正有理数集，若规定2baba，则()．(A)是代数运算且满足结合律(B)是代数运算，但不满足结合律(C)不是Q＋上的代数运算(D)(A),(B),(C)都不对2.域F有无穷多个元素，域F上的多项式Faaxaxaxfinnnn,...)(011，则()(A)f(x)在域F上至少有一个根(B)f(x)在域F上最多有n个根(C)f(x)在域F上没有根(D)f(x)在域F上恰有n个根3.虚数1i是有理数域上的()．(A)代数元(B)超越元(C)可逆元(D)既约元4.若Dn表示n个数码的扰乱排列总数，则Dn＝()．(A)Dn－1+Dn－2(B)nDn－1(C)(n－1)(Dn－1+Dn－2)(D)n(Dn－1+Dn－2)5.整系数多项式0...011axaxannnn的有理数根pq，(p,q)=1，则()．(A)pan，qan(B)pa0，qa0(C)pan，qa0(D)pa0，qan二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.自然数a与b的加法定义所满足的两个条件是．7.函数f(x)是上凸函数的定义为．8.整环R中的元素p是R中的不可约元素，则p，p不是可逆元，由p=a×b9.由5个元素取7个的可重复组合数是．10.整数环Z上的多项式0111...)(axaxaxaxfnnnn为本原多项式，则(an,an－1,…,a1,a0)＝．三、简述题(每小题7分，共14分)11.试给出一个从整数集Z到自然数集N的的单映射，但不是满映射．12.试给出一个从整数集Z到自然数集N的的双射．三、计算题(每小题10，本题共40分)13.设x，y，z是正实数，且xyz=10，求2x+3y+4z的极小值．14.求(x+y+z)6展开合并同类项后共有多少项，并指出项x2y3z的系数．15.求从1到2000的自然数中能被5或7或11整除的自然数个数．16.从n个数码1,2,…,n中取k(2n)个数码，但不允许取两个连续数码(如1，2不能连续取)，求共有多少种取法．四、证明题(每小题10分，本题共20分)17.设kmkRm,2{Z}，证明集合R对于普通数的加法和乘法构成一个整环．18.利用反归纳法证明：n个正数的算术平均值大于等于这n个正数的几何平均值，即iinnnxxxxxnxxx,0(......2121R)模拟练习之二一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.整环中元素c是不可约元素，则()．(A)c，c可逆元素(B)c，c可逆元素，cabca或cb(C)c，c可逆元素，ca×ba可逆或b可逆(D)c=且c是可逆元素2.函数f(x)=n+1是整数集合Z到自然数集合N的()(A)单映射(B)满映射(C)双射(D)恒等映射3.是有理数域上的()．(A)超越元(B)代数元(C)可逆元(D)不可约元4.设1，2，3是区间[0，]上的三个数，则()．(A)321321sinsinsin)sin((B)321321sinsinsin)sin((C))sinsin(sin313sin321321(D))sinsin(sin313sin3213215.设d(x)是f(x)和f(x)的公因式，则()．(A)d(x)是f(x)的二重因式(B)d(x)是f(x)单因式(C)d(x)是f(x)的三重因式(D)d(x)是f(x)k重因式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.自然数加法定义为．7.若d是a和b的最大公因式，则d应满足的两个条件为．8.掷两颗骰子一共有多少种不同情况．9.n个数码1，2，…,n的扰乱排列总数是．10.反归纳定理为．三、简述题(每小题7分，共14分)11.空集合的幂集是空集合码？应该是什么？12.在模12的剩余类环Z12中．哪些元素是可逆元素．三、计算题(每小题10，本题共40分)13.求012x在剩余类环Z12中的根．14.求(x+y+z＋t)10展开合并同类项后共有多少项，并指出项x5y2z3的系数．15.上11个台阶，如果每次只能走一阶或二阶，问有多少种不同走法．16.设kmkRm,2{Z}，求出R中所有可逆元素和不可约元素．四、证明题(每小题10分，本题共20分)17.证明在整环R中任意两个元素都有最大公因式．且对R中的三个元素a，b，c，若(a,b)～1，(a,c)～1，则(a,bc)～1．18.如果域F含有无限个元素，求证F[x]上两个多项式f(x)和g(x)相等，从代数的观点和函数的观点是一致的．模拟练习之一解答一、单项选择题1.B2.B3.A4.C5.C二、填空题6.a+1=a；a+b=(a+b)7.q1+q2=1,q10，q20，f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2)8.a为可逆元或b为可逆元9.711C10.1三、简述题11.如032022)(nnnnnf(nN)，(不惟一)12.如12122)(nnnnnf(nN)，(不惟一)四、计算题13.因为x，y，z0，所以3333240244323432xyzzyxzyx所以2x+3y+4z的极小值是3306．14.共有28278286136CC；x2y3z系数为60!1!2!3!6．15.设A＝{能被5整除的自然数}，B＝{能被7整除的自然数}C＝{能被11整除的自然数}．则181112000,28572000,40052000CBA，361152000,271172000,57752000CACBBA，511752000CBA．所以，CBACBA－CACBBA＋CBA＝400＋285＋181－57－27－36＋5＝75116.用f(n,k)该数，f(n,k)=f(n－1,k)+f(n－×2,k－1)，f(n,k)=kknC1．参考原教材P152：定理5.1．五、证明题17.易知R对于数的加法和乘法封闭．)(20ZmRm，在R中有零元．),(22ZmkkRkmm，即存在负元素．＋，×满足结合律，且×对＋满足分配律．存在R0211,),(221122ZmkkkkRkmmmm，总之，R是整环．18.当n=2,4,8,…,2m时命题正确．设命题对n=k时正确，即kxxxSkk...21．则kSxxxSkkk11211...，所以kkkkSxxxS11211...，即12111...kkkxxxS因而11211...kkkxxxS，所以命题对一切自然数成立．模拟练习之二解答一、单项选择题1.C2.B3.A4.C5.D二、填空题6.a+1=a；a+b=(a+b)7.da，db，a,b的公因式d8.21种9.)!1)1(...!31!2111(!nnn10.①无限个自然数满足定理；②k成立k－1成立三、简述题11.不是．应为P()={}．12.在Z12中11,7,5,1是可逆元素．四、计算题13.7,5,1xxx是方程的根．14.共有2866111213313101410CC；x5y2z3系数为5202!3!2!5!10．15.对台阶作归纳．当n=0时，f(0)=1；当n=1时，f(1)=1；当n=2时，f(2)=2=f(1)+f(0),当n=3时，f(3)=3=f(2)+f(1)；一般地，f(n)=f(f－1)＋f(n－2)．f(4)=5；f(5)=8；f(6)=13；f(7)=21；f(8)=34；f(9)=55；f(10)=89；f(11)=144．走完11个台阶可以有144种不同走法．16.R中的可逆元素是m21；R中的不可约元素为mp2，p为不等于2的素数．五、证明题17.由于(a,b)～1(ac，bc)～c．所以，有1～(a，c)～(a，(ac，bc))～((a,，ac)，bc)1～(a(1，c)，bc)～(a，bc)18.设0111...)(axaxaxaxfnnnn，0111...)(bxbxbxbxgnnnn)()(...)()()()(0011111baxbaxbaxbaxgxfnnnnnn＝0，从函数的观点，f(x)－g(x)有无数个根，但f(x)－g(x)最多有n个根，所以),...,1,0(0nibaii所以，从代数上f(x)=g(x)，即ai=bi(i=0,1,2,…,n)．所以，它们一致.