81控制系统的状态空间描述-58

线性控制理论谢蓉自动化学院[e-mail]2014.2§0现代控制理论（线性控制理论）(1)现代控制理论的起源经典控制理论通常用于单输入-单输出线性定常系统的分析和设计，但是在实际中，控制系统本质上是多输入-多输出、非线性、时变的，针对单输入-单输出线性定常系统的分析和设计结果，往往是一种近似处理的结果。随着科学技术的发展，对控制系统的能耗、反应速度、精度、适应能力要求越来越高，经典控制理论已不能满足要求。1960年前后，在航天和计算机技术的推动下，现代控制理论开始发展，一个重要的标志就是引入了状态空间的概念。2(2)现代控制理论的研究内容现代控制理论是以系统内部状态为基础进行分析与综合的控制理论，有许多研究内容，主要包括以下5个方面：线性系统理论——基础部分建模和系统辨识最优估计理论最优控制自适应控制3线性系统理论的主要研究内容①线性系统的定量分析理论：状态方程组的建立及解析第1章控制系统状态空间描述第2章控制系统状态空间表达式的求解/运动分析②线性系统的定性分析理论：能控性、能观测性和稳定性分析第3章线性系统的能控性和能观测性第4章控制系统的稳定性③线性系统综合理论：控制器设计第5章状态反馈和状态观测器建模求解特性分析综合设计4•模型•高阶微分方程•传递函数•分析方法•时域法(低阶系统)•频域法(精髓与核心)•根轨迹法•偏重于简化与近似分析•模型•动态方程（状态方程＋输出方程）•分析方法•时域法•强调精确建模与计算5(3)现代控制理论和经典控制理论的异同经典控制理论模型与分析方法现代控制理论缺点•适用范围窄，主要用于SISO线性定常系统•黑箱模型、外部描述优点•分析与设计简便•分析设计时物理概念清晰•对建模的准确性要求较低优点•适用范围广，MIMO（含SISO、SIMO、MISO）、非线性系统、时变系统•适合于用计算机求数值解•白箱模型、内部描述缺点•分析与设计较复杂•数学化处理淡化了物理机理•对建模的准确性要求较高6经典控制理论优缺点现代控制理论§1系统的状态空间描述§1.1系统数学描述的两种基本方法典型控制系统方块图典型控制系统由被控对象、控制器、执行器和传感器组成。输入－输出描述（外部描述）：它将系统看成为“黑箱”，只是反映输入与输出之间的关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量，如传递函数。状态空间描述（内部描述）：它是基于系统内部结构的一种数学模型，由两个方程组成，状态方程反映系统内部变量和输入变量间的关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式。输出方程是表征系统输出向量与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。外部描述仅描述系统的外部特征，不能反映系统的内部结构特征，内部结构完全不同的两个系统也可能具有相同的外部特征，因而外部描述通常只是对系统的一种不完全描述。内部描述则是对系统的一种完整描述，它能完整表征系统的动力学特征。被控过程12puuu12qyyy12,,nxxx控制u执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y被控过程x反馈控制x7§1.2状态空间描述常用的基本概念输入：由外部施加到系统上的激励称为输入，若输入是按需要人为施加的，又称为控制。输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息称为输出，若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。状态和状态变量：能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的一组独立（数目最小）的变量称为系统的状态，其中的各个变量称为状态变量。状态向量：以各状态变量为分量所组成的向量。★★对特定的系统，状态变量的数目是唯一的，就是该系统的阶数。对n阶系统，独立变量的个数为n。当选取的变量个数小于n时，便不能完全确定系统的状态，而当变量个数大于n时，则存在多余的变量，这些多余的变量就不是独立变量。★★独立性判断方法：变量之间（包括输入）是否存在代数约束。8状态变量的选取状态变量的选取不具有惟一性，同一系统存在着无数种不同的状态变量选取方法。选取原则：满足独立性和系统阶数要求数学、物理概念清晰便于测量便于列写动态方程通常选机械系统中的位移和速度，电路中的电感电流和电容电压，方块图中积分器的输出，数学公式中的微积分量作为状态变量。状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间。状态轨迹：随着时间变化的状态在状态空间中描绘出一条轨迹。状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项。状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化。9()(),(),ttttxfxu32123cxxcc23123cxxcc例1电路变量的独立性12xx只有一个状态变量是独立的，但具体选哪一个，取法不唯一只有两个状态变量是独立的，但具体选择哪一组，取法不唯一x310输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程，当输出由传感器得到时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为:()[(),(),]ytgxtutt动态方程：状态方程与输出方程的组合，又称为状态空间表达式。连续形式:()(),(),()(),(),xtfxtuttytgxtutt离散形式:1()(),(),()(),(),kkkkkkkkttttttttxfxuygxu线性系统：()()()()()y()()()()()xtAtxtBtuttCtxtDtut线性：满足叠加原理L(c1u1+c2u2)=c1L(u1)+c2L(u2)11A及G：系统矩阵（状态矩阵）B及H：输入矩阵（控制矩阵）C及C：输出矩阵（观测矩阵）D及D：输入输出矩阵（前馈矩阵）线性定常系统：连续形式S(A,B,C,D)()()()()()()xtAxtButytCxtDut离散形式S(G,H,C,D)(1)()()()()()xkGxkHukykCxkDuk12nxxxx12puuuu12qyyyy111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa111212122212ppnnnpbbbbbbBbbb111212122212nnqqqnccccccCccc111212122212ppqqqpddddddDdddA(G)、B（H)、C、D需要满足矩阵运算关系12线性连续时间系统结构图线性离散时间系统结构图由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不是唯一的。但是，用状态变量所描述处来的系统的维数应该是唯一的，这与状态变量的选取方法无关。动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用动态方程来描述。状态方程着眼于系统动态演变过程的描述，反映状态变量间的微积分关系；而输出方程则着眼于反映系统中各变量之间的静态关系，建立系统中变量间的代数约束，这也是非独立变量不能作为状态变量的主要原因。13§1.3线性定常系统动态方程的建立§1.3.1线性定常系统动态方程的建立方法根据系统的物理机理建立根据系统的微分方程式建立根据系统的方框图建立根据系统的传递函数建立14§1.3.2根据系统的物理机理建立动态方程例2试列写如图RLC电路方程，选择几组状态变量并建立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。解：物理意义明确的常用变量主要有：电流、电容器的电压与电荷、电感器的电压与磁通。根据回路电压定律:1diRiLidtedtC电路输出量y为：1yidtC151)状态变量为电感器电流和电容器电压1xi21xyidtC11211RxxxeLLL211xxC2yx其向量-矩阵形式为:左边为状态变量的一阶导数和输出变量；右边为状态变量和输入变量的线性组合。1122121110001RxxLLeLxxCxyx1diRiLidteqCudtC162)状态变量为电容器电流和电荷12,xixqidt1122121101010RxxeLLCLxxxyxC17注意：1、状态变量的取法不是唯一的，但状态变量的个数等于系统的阶数，这是不变的；2、状态变量选取不同，方程A、B、C中的元素也不同，所以状态方程的形式不同；3、尽管状态变量选取不同，方程A、B、C中的元素也不同，但系统的特征根是不变的。18()mxFfxVkx12,xxxx11223,,yxxyxxyx122211()xxxxfxVkxFm例3由质量块、弹簧、阻尼器组成的双输入三输出机械位移系统如图所示，具有力F和阻尼器气缸速度V两种外作用，输出量为质量块的位移、速度和加速度。试列写该系统的动态方程。解：选质量块的位移和速度为状态变量，系统有三个输出量。112201001xxFkffxxVmmmm11223100001001yxFyxVkffymmmm双输入－三输出机械位移系统19§1.3.3由高阶微分方程建立动态方程1)微分方程不含输入量的导数项()(1)(2)12100nnnnnyayayayayu(1)12,,,nnxyxyxy122310112101nnnnnxxxxxxxaxaxaxuyxxAxbuycx121012100100000100,,00010nnnxxxAbxxaaaa100c选n个状态变量为，有：,201na1s2na1s1a0a1s﹣unxnx1nx2x1xy系统的状态变量图0212)微分方程输入量中含有导数项()(1)()(1)110110nnnnnnnyayayaybubububu一般输入导数项的次数小于或等于系统的阶数n。为了避免在状态方程中出现输入导数项，按如下规则构造一组状态变量：10112,3,,iiixyhuxxhuin展开为输入、输出及其导数的函数，有：221021101322012(1)(1)(2)11011nnnnnnnxyhuxxhuyhuhuxxhuyhuhuhuxxhuyhuhuhu10yxhu12123211nnnxxhuxxhuxxhu输出方程：（n－１）个状态方程：1()0111111000011nnnnnnnnnnnxyhuhuhuayayaybubuhuhuhu对最后一个方程求导，并使用高阶微分方程消去y(n)23()(1)011011101112100111100()()()()nnnnnnnnnnnnnnxaxaxbhubhahubhahahubahahahuh(1),,,nyyyix将均以及u的各阶导数表示，经整理可得：令u的各阶导数的系数为零，可确定各h值为：01110111210nnnnnnhbhbahhbahah0111100nnnhbahahah24011nnnnxaxaxhuxAxbuycxdu120101210100001010000001nnn