81数学基础

第八章大比例尺数字地形图测绘8.1数学基础8.1.1常用坐标系及其转换一、测量坐标系的概述地面和空间点位的确定总是要参照于某一给定的坐标系统。坐标系统是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。坐标参考系统分为天球坐标系和地球坐标系（亦称地固坐标系）。天球坐标系用于研究天体和人造卫星的定位与运动，地球坐标系用于研究地球上物体的定位与运动。确定地球表面点的空间位置采用地固坐标系更为方便。根据坐标系原点位置的不同，地固坐标系分为地心坐标系（原点与地球质心重合）和参心坐标系（原点与参考椭球中心重合），前者以总地球椭球为基准，后者以参考椭球为基准。无论是地心坐标系还是参心坐标系，均可分为空间直角坐标系和大地坐标系，它们都与地球固连在一起，与地球同步运动。不同基准的坐标系它们的点位坐标是不同的。建立某一基准的地固坐标系统（简称坐标系），必须解决以下问题：①确定椭球的形状和大小（长半径a和扁率α)；②确定椭球中心的位置(椭球定位）；③确定椭球短轴的指向（椭球定向）；④建立大地原点。对于地固坐标系，坐标原点通常选在参考椭球中心或地心，坐标轴的指向具有一定的选择性，国际上通用的坐标系一般采用协议地极方向CTP(Conventional-TerrestrialPole)作为Z轴指向。1．不同基准的坐标系统(1)1954年北京坐标系1954年北京坐标系是我国目前广泛采用的大地测量坐标系。该坐标系源自于前苏联采用过的1942年普尔科沃坐标系。新中国成立前，我国没有统一的大地坐标系统。新中国成立初期，在前苏联专家的建议下，我国根据当时的具体情况，建立起了全国统一的1954年北京坐标系。该坐标系采用的参考椭球是克拉索夫斯基椭球。这是一个只用几何量表示的椭球，其椭球的参数为a=6378245m，α=1:298.3。遗憾的是，该椭球并未依据当时我国的天文观测资料进行重新定位，而是直接由前苏联西伯利亚地区的一等锁，经我国的东北地区传算过来的。限于当时的条件，1954年北京坐标系存在着很多缺点，主要表现在以下几个方面。——克拉索夫斯基椭球参数同现代精确的椭球参数的差异较大，并且不包含表示地球物理特性的参数，因而给理论和实际工作带来了许多不便。——椭球定向不十分明确，椭球的短半轴既不指向国际通用的CIO极，也不指向目前我国使用的JYD极。参考椭球面与我国大地水准面呈西高东低的系统性倾斜，东部高程异常达60余米，最大达67m。——该坐标系统的大地点坐标是经过局部分区平差得到的。因此，全国的天文大地控制网实际上不能形成一个整体，区与区之间存在较大的隙距。如接合部中的有些点，在不同区的坐标值相差1〜2m。不同分区的尺度差异也较大。因为坐标是按东北一西北一西南的路线分区传递的，后一区的坐标起算点又是以前一区的最弱坐标点，因而一等锁的坐标积累误差较大。鉴于此，国家测绘局和总参测绘局于1978年4月在西安召开会议，决定建立我国自己的坐标系统。(2)1980年国家大地坐标系1978年我国决定建立新的国家大地坐标系统，并重新对全国天文大地网实施整体平差，要求整体平差在新大地坐标系统中进行，这个坐标系统就是1980年国家大地坐标系(亦称1980年西安坐标系)。1980年国家大地坐标系采用国际大地测量协会1975年推荐的参考椭球IAG~75国际椭球，其4个几何和物理参数值为：椭球长半径a=6378140m；引力常数与地球质量的乘积GM=3.9860051014m3/s2；地球重力场二阶带球谐系数J2=10826310-8；地球自转角速度ω=7.29211510-5rad/s。椭球的短轴平行于地球的自转轴（由地球质心指向1968.0JYD地极原点方向），起始子午面平行于格林尼治平均天文子午面。按照椭球面与似大地水准面在我国境内符合最好的约束条件进行定位，并将大地原点确定在我国中部——陕西省泾阳县永乐镇。高程系统以1956年黄海平均海水面为高程起算基准。在1980年国家大地坐标系中的大地点成果与原1954年北京坐标系中的大地点成果是不同的。这个差异除了因为前者是经过整体平差，而后者只是作了局部平差以外，主要还由于它们各属于不同椭球与不同的椭球定位与定向。(3)中国地心坐标系统CGCS2000基于“中国地壳运动观测网络”工程1999年至2005年共7年的24个GPS连续运行基准站观测数据，并联合47个国际IGS核心站，得到这些点于2000.0历元在ITRF2000框架中的坐标及速度，以及其相对于NNR-NUVEL1A板块模型的速度，以此建立起中国地心坐标系的基准点。CGCS2000坐标系采用的地球椭球参数如下：地球椭球长半径a=6378137m；引力常数与地球质量的乘积GM=3.9860044181014m3/s2；地球自转角速度ω=7.29211510-5rad/s。2008年7月1日起实施的中国地心坐标系统CGCS2000是全球地心坐标系在我国的具体体现，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。采用以地球质心为大地坐标系的原点，可以更好地阐明地球上各种地理和物理现象，特别是空间物体的运动。现在利用空间技术所得到的定位和影像等成果，都是以地心坐标系为参照系。采用地心坐标系可以充分利用现代最新科技成果，它对满足国民经济建设、社会发展、国防建设和科学研究的需求，有着十分重要的意义。(4)WGS-84坐标系WGS-84坐标系的全称是WorldGeodeticSystem~84(世界大地坐标系WGS-84)，它属于地心地固坐标系统。WGS-84坐标系统由美国国防部制图局建立，于1987年取代了当时GPS所采用的坐标系统—WGS-72坐标系统而成为GPS所使用的坐标系统。坐标系的原点是地球的质心，椭球面与大地水准面在全球范围内最佳符合，Z轴指向BIH1984.0定义的协议地球极（CTP)方向，X轴指向BIH1984.0的零度子午面和CTP赤道的交点，y轴和Z、X轴构成右手坐标系。对应WGS-84坐标系有一个WGS-84椭球，该椭球的参数为：地球椭球长半径a=6378137m；引力常数与地球质量的乘积GM=3.9860051014m3/s2；地球重力场二阶带球谐系数J2=1082.6299890510—6；地球自转角速度ω=7.29211510-5rad/s。GPS的星历坐标及由GPS观测值直接计算的坐标，都是WGS-84坐标系下的坐标。(5)站心坐标系以测站为原点，测站上的法线(或垂线）为Z轴方向，北方向为X轴，东方向为y轴，建立的坐标系就称为法线(或垂线）站心坐标系，常用来描述参照于测站点的相对空间位置关系，或者作为坐标转换的过渡坐标系。工程上在小范围内有时也直接采用站心坐标系。2．同一基准中几种常用坐标系如何表示地面点位的空间位置，根据不同的表达方式和要求，就产生了不同的坐标系。在大地测量中，常用的坐标系有以下几种。(1)空间直角坐标系空间直角坐标系如图8-1所示，空间任意点的坐标用（X，Y，Z)表示，坐标原点位在地球椭球质心或参考椭球中心，Z轴（短轴）与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点，X轴指向平均自转轴与格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G，而Y轴与XOZ平面垂直，且指向东为正。(2)大地坐标系大地坐标系（亦称地理坐标系）如图8-2所示，是采用大地经度L、大地纬度B和大地高H来描述地面上一点的空间位置的。地面上一点的大地经度L为大地起始子午面与该点所在的子午面所构成的二面角，由起始子午面起算，向东为正，称为东经（0°〜180°)，向西为负，称为西经(0°〜180°)；大地纬度B是过该点作椭球面的法线与赤道面的夹角，由赤道面起算，向北为正，称为北纬(0°〜90°)，向南为负，称为南纬(0°〜90°)；大地高H是地面点沿椭球的法线到椭球面的距离。图8-1空间直角坐标系图8-2大地坐标系(3)高斯平面直角坐标系在地球椭球面上进行大地坐标的计算，是相当烦琐的，远不如在平面上简便。为适应测量定位的应用，需要将大地坐标转换为某种平面直角坐标；为测绘在平面上的地图，也必须将地球椭球面上各元素按一定的数学法则归算（投影）到某个平面。将大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这就是坐标投影变换。投影变换的方法有很多，UTM投影、Lambert投影等。我国采用的是高斯-克吕格投影，简称高斯投影。高斯平面直角坐标系的原点O是高斯投影某一带的中央子午线和赤道描写形的交点；x轴为中央子午线的描写形，指向北；y轴为赤道的描写形，指向东，如图8-3(a)所示。在我国x坐标都是正的，y坐标的最大值(在赤道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500km，如图8-3(b)所示；此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标(亦称通用坐标）例如，有一点Y=19123456.789m，该点位于19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是首先去掉带号，再减去500000m，最后得到y=-376543.211m。(4)平面直角坐标系当测图的范围较小时(半径10km以内区域），可把该部分的球面视为水平面。将地面点直接沿铅垂线方向投影到水平面上。如图8-4所示，以互相垂直的纵横轴建立平面直角坐标系：纵轴为x轴，与南北方向一致，以向北为正，向南为负；横轴为y轴，与东西方向一致，以向东为正，向西为负。这样任一点平面位置可用其纵横坐标x，y表示。如果坐标原点o是任意假定的，则为独立的平面直角坐标系图8-3高斯平面坐标系图8-4平面直角坐标系二、测量坐标的转换1．不同基准间的坐标转换不同基准间的坐标转换本质上是不同坐标系统的转换。不同基准间的坐标转换可以在不同空间直角坐标系之间转换也可以在不同大地坐标系之间转换。在两空间直角坐标系之间转换比较简便，应用广泛，下面仅介绍两空间直角坐标系之间转换方法。不同空间直角坐标系的转换应包括不同参心空间直角坐标系间的转换，同时也包括参心空间直角坐标系与地心空间直角坐标系间的转换。在进行两个空间直角坐标系间的转换时，要对坐标原点实施3个平移变换，3个坐标轴实施3个旋转变换（这3个旋转角称为欧勒角），除此之外，还有两个坐标系尺度之间不一样的一个尺度变换参数。以上3个坐标原点平移参数、3个坐标轴旋转参数、1个尺度变换参数统称为七参数。进行空间直角坐标系转换主要有布尔莎模型、莫洛金斯基模型和范士公式(武测模型）。因各有不同的前提条件，故七参数数值是不同的，坐标转换的结果差别很小。下面以布尔莎模型为例介绍空间直角坐标系的转换。设有三维空间直角坐标系O-XAYAZA和O-XBYBZB的相互关系见图8-5。图8-5坐标系转换示意图令:C点在A空间直角坐标系的坐标为(𝑋𝐴，𝑌𝐴，𝑍𝐴)，在B空间直角坐标系的坐标为(𝑋𝐵，𝑌𝐵，𝑍𝐵)。两空间直角坐标系间的七个转换参数为：3个平移参数(∆𝑋0，∆Y0，∆Z0）为A空间直角坐标系原点平移到B空间直角坐标系原点的坐标差，保证两个坐标系的原点重合。3个旋转参数(𝜔𝑋，𝜔𝑌，𝜔𝑍)为A空间直角坐标系的三轴指向分别旋转到B空间直角坐标系的三轴指向的旋转角，使得旋转后3个坐标轴的指向一致。1个尺度参数m为B基准与A基准两个长度的比，强行将A基准的尺度拉伸或压缩至B基准的长度标准。由A空间直角坐标系到B空间直角坐标系的转换关系为[𝑿𝑩𝒀𝑩𝒁𝑩]=[∆𝑿𝟎∆𝒀𝟎∆𝒁𝟎]+(𝟏+𝒎)𝑹(𝝎)[𝑿𝑨𝒀𝑨𝒁𝑨](8-1)式中𝐑(𝝎𝑿)=[𝟏𝟎𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬𝝎𝑿𝐬𝐢𝐧𝝎𝑿𝟎−𝐬𝐢𝐧𝝎𝑿𝐜𝐨𝐬𝝎𝑿](8-2)𝐑(𝝎𝒀)=[𝐜𝐨𝐬𝝎𝒀𝟎−𝐬𝐢𝐧𝝎𝒀𝟎𝟏𝟎𝐬𝐢𝐧𝝎𝒀𝟎𝐜𝐨𝐬𝝎𝒀](8-3)𝐑(𝝎𝒁)=[𝐜𝐨𝐬𝝎𝒁𝐬𝐢𝐧𝝎𝒁𝟎−𝐬𝐢𝐧𝝎𝒁𝐜𝐨𝐬𝝎𝒁𝟎𝟎𝟎𝟏](8-4)为分别绕X，Y，Z轴旋转的旋转矩阵。3个旋转角𝜔𝑋，𝜔𝑌，𝜔𝑍通常为小角度，称作欧勒角，令𝐜𝐨