4一次方程组的应用

一次方程组的应用一.本讲数学内容列方程组解应用题二．技能要求：熟练掌握用二元、三元一次方程组解简单的应用题。三．重要数学思想：通过列方程组解应用题的训练，进一步领会方程的思想。四．主要数学能力：1．通过列二元或三元一次方程组解决应用问题的训练，学习把实际问题抽象成数学问题的方法，进一步培养分析问题和解次实际问题的能力。2．通过将一些代数问题转化为方程组问题的方法的学习，培养运用转化思想去解决问题，发展思维能力。五．列方程组解应用题的一般步骤是：①审题：弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，题目中的数量关系，尤其是要弄清给出了哪些等量关系。②设未知数：一般有两种，设直接未知数（将题目中要求的未知数设为x,y），或间接未知数（与问题中要求的未知数相关的另一些未知数用x,y表示），看哪一种便于使用已知条件列出较简单的方程就选用哪一种。③列方程：根据已知条件中某些相等关系列出两个独立的二元一次方程而组成二元一次方程组。④解这个方程组：根据所列方程组的特点，选择适当的方法求得方程组的解。⑤检验并作答：根据应用题中，所设未知数的实际意义判断方程组的解是否符合题意，最后写出答案。六.例题解析第一阶梯[例1]有10分和20分的两种邮票共16枚,总计价值2.50元,问10分和20分的邮票各多少枚？提示：通过情景1和2,我们可以很容易地就解决了这个问题.在情景3中的共有两个等量关系有：10分的张数＋20分的张数＝16张;10分×10分的张数＋20分×20分的张数＝250分.参考答案：解：设10分的邮票有x枚,20分的邮票有y枚,根据题意,得由②得：x+2y=25.（3）（3）－（1）得：y=9:把y=9代入（1）,得所以：答：10分的邮票有7枚,20分邮票有9枚.说明：通过这3个情景的探索和解决,我们可以体会到学习用二元一次方程组解决问题的某些特征.首先,我们要找出题中的等量关系；弄清问题中的等量关系之后,再根据实际需要设出未知数,列出方程组；然后求解出这个方程组,得出方程组的解；最后再找出实际问题的答案.通过这个问题的解决,你是否有了一些关于用二元一次方程组解决问题的印象呢？如果你认为你已经具有了这方面的能力,请思考下边的情景探索单元2.[例2]运输一批共360吨的货物,需用6节火车皮和15辆汽车.每辆汽车和每节火车各运多少吨货物？请用二元一次方程来表达这个数量关系.提示：①在这一个情景中,要求我们解决汽车与火车的平均运输能力问题,涉及到两个未知数,因此,我们可以用一个未知数x来表示平均每辆火车的运输的吨数,用另外一个未知数y来表示平均每辆汽车的运输的吨数.②15×平均每辆汽车运输量＝汽车的总共的运输量.6×平均每辆火车运输量＝火车的总共的运输量.③等量关系为：6×每节火车运输量＋15×每辆汽车运输量＝360吨.参考答案：设平均每节火车装x吨,平均每辆汽车装y吨.根据题意得：6x+15y=360说明：对于这样的问题情景,我们在日常的生活中是随时可以遇到的.这种问题,我们总是可以把它用二元一次方程组来表示出来.与单元一中的情景1类似,我们只要搞清了情景中的各种数量关系,那么,解决这类问题就是一件十分容易的事了.通过此问题的解决,则否你认为你自己也能解决这样的问题了呢？[例3]快车与慢车相距150千米,两车同时出发,相向而行,快车与慢车1.5小时相遇,用二元一次方程表示出题中所反映出的数量关系.提示：①在这个问题中,要我们求快车与慢车的速度,一共是要解决两个问题.因此我们可以利用二元一次方程来解决.同时,这是一个同时出发,同向而行的相遇问题.②在行程问题中有一个很重要的数量关系：路程＝速度×时间.③这个问题中所反映的运动如下图所示：④通过对这个图的分析,我们可以发现有如下的数量关系；快车行走的路程＋慢车行走的路程＝150千米.⑤如果说我们设快车速度为x千米／小时,慢车速度为y千米／小时,那么快车行走的路程是1.5x千米,慢车行走的路程是1.5y千米.参考答案：设快车行走的速度是x千米／小时,慢车的速度是y千米／小时,由题意可得：1.5x+1.5y=150.说明：对于这类行程问题,我们必须首先画出行程问题的行走路线图,同时,对于行程问题中的相遇问题来说,我们一般都是采用分路程之和等于总路程的长度.第二阶梯[例1]1997年,某省的文物馆举行文物展览,当天来参观的人非常多,在晚上清理时,发现丢失了一批珍贵的古代铜钱,公安局接到报警后,要求管理员提供丢失的铜钱的详细情况.管理员只记得丢失的铜钱总数是32枚,面值是5元和2元,原价总共是100元.请你帮助管理员推算出丢失的铜钱的各种面值的枚数的详细情况.根据这个问题的材料,我们可以把这个实际问题转化成如下的一个数学问题：问题：有5元和2元的两种钱币共32枚,总计价值100元,问5元和2元的钱币多少枚？提示：①在这个问题要求我们解决面值为5元和2元的两种铜钱的枚数,共有两个未知数,因此,我们可以考虑用二元一次方程组来解决.②题中的铜钱的总面值,即是面值为5元铜币的总钱数加上面值为2元的铜钱的总钱数,一共是100元.③面值为5元的铜钱的总钱数＝5元×面值为5元的铜币的个数;面值为2元的铜钱的总钱数＝2元×面值为2元的铜币的个数.④由此我们可以看出,只要我们知道了面值为5元的铜钱的枚数与面值为2地的铜钱的枚数,那么,这个问题中所有的量我们都可以用它们表示出来.因此我们可以直接设两种铜钱的枚数为未知数.⑤题中的等量关系有：5元的枚数＋2元的枚数＝32枚;5元×元的枚数＋2×2元的枚数＝100元。如果我们设面值为5元的铜钱有X枚,面值为2元的铜钱有y枚,那么根据这两个等量关系,我就可以列出一个二元一次方程组出来,然后,求解这个方程组,我就可以达到目的.参考答案：解：设面值为5元的铜钱有x枚,面值为2元的铜钱有y枚,根据题意,得答：面值为5元的铜钱有12枚,面值为2元的铜钱有20枚.说明：通过这一个问题的解决,就可以体会到我们学习二元一次方程组的作用.要解决这样的问题,首先,我们要把这个问题转化成一个比较明确的数学问题,然后我们主要是找出题中的等量关系；分析完之后,我们再根据实际问题设出未知数,列出方程组；列出方程组之后,再求解这个方程组,就可以得出方程的解.[例2]某县在一次人口普查中了解到，该县现有人口12万，按照科学计算，预计一年后城镇人口将增加.8%，农村人口将增加1.1%，这样全县人口将增加到12.12万，求该县现有的城镇人口与农村人口。提示：从题目中，我们可以看到：这个题目稍显复杂，就是因为这要求两个未知数，即现在的城镇人口与农村人口，而这两个量间有什么样的关系呢？不难分析到：现有的城镇人口+现有的农村人口=12万，但在这样一个等式中，同时存在两个未知的量，并能求出唯一确定的解，那么你还要依赖题中其它的条件。按照：全县人口=城镇人口+农村人口。这样一种关系，一年后的全县人口=一年后的城镇人口+一年后的农村人口，其关系式中的一年后的城镇人口与一年后的农村人口，都可以利用未知量现有的城镇人口与现有的农村人口表示出来，这样我们就能得到两个关于这两个未知量的相等关系，那么只要将它们联立，组成方程组，就可以求解了。参考答案：解：设现有的城镇人口为x万，农村人口为y万，根据题意，得方程组由（2）得x+0.8%x+y+1.1%y=12.12整理，得0.8%+1.1%=12.12-(xy)--------------------------(3)将（1）代入（3），得0.8%x+1.1%y=12.12-120.8%x+1.1%y=0.12---------------------------------------(4)v（4）-（1）×0.8，得0.3y=2.4y=8把y=8代入（1），得x=4。答案：现有的城镇人口为4.3万，农村人口为8万。说明：本题也可以用一元一次方程来求解，比如：设现有城镇人口为x万，则现有农村人口为12-x万根据题间，可以列出一元一次方程：x(1+0.8%)+(12-x)(1+1.1%)=12.12只要认真求解，仍然可以计算出x=4、12-x=8，那么，现在你就应该有这样一个思想：能用一元一次方程求解的问题，一般情况下都能用算式求解：能用二元一次方程组求解的问题，一般情况下也可以用一元一次方程求解，只不过计算起来稍显复杂，因此建议你当求两个未知量时，能用二元一次方程组求解，尽量要用方程组，不但训练你的动手解方程组能力，而且会培养你的观察、分析与审题能力。特别是从题目中找出与所求知量有关的相等关系，是解应用题的关键，希望你能慢慢去摸索。[例3]某工厂用浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精混合，制成了浓度为50%的酒精30千克，试问前两种酒精各使用了多少？提示：1.此题中叙述了这样一件事：用一定量的浓度为30%的酒精和一定量的浓度为60%酒精混合成一种浓度为50%的酒精30千克，问要得到这30千克浓度为50%的酒精，需用浓度30%和60%的酒精各多少千克？解决这一问题关键是要从问题中找出--混合前后哪些量改变了？哪些量没变？2.如果设两种酒精分别用了X千克，Y千克，则各量之间存在如下关系：浓度为30%的酒精浓度为60%的酒精混合后浓度为50%的酒精溶液XY30浓度30%60%50%溶质（纯酒精）X·30%Y·60%30·50%由表中数据，我们可以清晰看出各基本量间的关系。3.分析题意，从题目中找出两个相等式：（1）两种溶液（酒精）的质量之和为30，即X+Y=30（2）两种溶液中纯酒精之和等于混合后的溶液中的纯酒精数，即X·30%+Y·60%=30·50%4.根据所得到的相等关系，我们就可以列方程组、解应用题了。参考答案：解：设浓度为30%的酒精为X千克，浓度为60%的酒精为Y千克，根据题意得：（2）×100，得30X+60Y=30×50化简，得3X-6Y=150（3）（1）×3，得：3Y=60Y=20将Y=20代0代入（1），得：X=10所以，得答：需用浓度30%的酒精10千克，浓度60%的酒精20千克。说明：这道题是一个稍有难度的应用题，在研究关于浓度问题或与浓度相关的实际问题时，重要的是要审清题意，能够从题目中找出一个溶液变化前后始终没有发生变化的量，以该量在变化前后始终相等作为相等关系，根据浓度问题中的基本数量关系，即可列方程组求解。第三阶梯[例1]一只轮船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时行16km；求轮船在静水中的速度与水速。提示：你有没有这样的生活体验：当你在齐腰深的河水中行走时，逆着水流走，感觉非常吃力，而且速度很慢，可当你顺流行走时，感觉又轻松、速度又快，那么你有没有想过，这是什么原因呢？其实，道理很简单：顺流时，你移动的速度是你本身的速度加上水推着你时水的速度；当然速度要比你本身速度快，而逆流时，你需要克服掉水的阻力，才能前进，也就是你移动的速度是你本身的速度减去水流的速度；船也同理；即在这里存在这样两个重要的关系式：船顺流时航速=船在静水的速度+水速船逆流时航速=船在静水的速度-水速其中，船的静水速度，即指水不动时，船本身的速度。参考答案：解：设轮船在静水中的速度是X千米每小时，水流速度为Y千米每小时，根据题意，可得：解该方程组，（1）+（2），得：2X=36X=18把X=18代入（1），得：即方程组解为Y=2答：船在静水中速度为18千米每小时，水流速度为2千米每小时。说明：解答此类问题的关键就是要知道，航行问题中有这样一个基本关系：船顺流时航速=船在静水的速度+水速船逆流时航速=船在静水的速度-水速而这里船的静水速度与水速正是本题目中所求，而列二元一次方程组求解，只需利用这两个相等关系分别列出两个方程即可；另外，在上面关系式的4个量中，只要知道其中任意两个，即可求出另外两个。[例2]在等式y=ax2+bx+c，当x=1时，y=6；当x=2时，y=21；当x=-1时，y=0；求abc的值。提示：这是一个利用待定系数法求解的题目，其中ax2+bx+c是一个二次三项式，且a≠0，题中给出了自变量x的三个值1、2、-1，及和它们分别对应的y的值：6、21