82空间几何体的表面积和体积作业

1计时双基练(37)空间几何体的表面积和体积一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．8B.83C．4D.43解析：将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V＝13S正方形ABCD×PA＝13×12×2×2×2＝43.答案：D2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的体对角线长为2a2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2.故选B.答案：B3．如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为()A．4πB.154πC．5πD.174π解析：由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π.答案：D4．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为()A．24B．23C．22D．21解析：这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.答案：C5．一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是()A.11π2B.11π2＋6C．11πD.11π2＋33解析：这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为3，母线长是2，其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故S＝12π×12＋12π×22＋12π(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋33.答案：D6．如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′­EFQ的体积()A．与点E，F位置有关B．与点Q位置有关C．与点E，F，Q位置都有关D．与点E，F，Q位置均无关，是定值解析：因为VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝13×12×2×4×4＝163，故三棱锥A′­EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值．答案：D7．[2014·唐山市期末]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8π＋16B．8π－16C．8π＋8D．16π－82解析：由三视图可知，该几何体为底面半径r＝2，高h＝4的半圆柱挖去一个底面为等腰直角三角形，直角边长为22高为4的直三棱柱，故所求几何体的体积为V＝π×22×4×12－12×22×22×4＝8π－16，故选B.答案：B8．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S­ABC的体积为()A.33B.233C.433D.533解析：如图，设球心为O，OS＝OA＝OC得∠SAC＝90°，又∠ASC＝45°，所以AS＝AC＝22SC，同理BS＝BC＝22SC，可得SC⊥面AOB，则VS－ABC＝13S△AOB·SC＝13×3×4＝433，故选C.9．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22解析：设三角形ABC的中心为M，球心为O，则OM＝1－332＝63，则点S到平面ABC的距离为263.所以V＝13×12×32×263＝26，所以选A.答案：A10．[2014·石家庄质检一]已知球O，过其球面上A、B、C三点作截面，若O点到该截面的距离是球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，则球O的表面积为()A.64π3B.8π3C．4πD.16π9解析：如图，球心O在截面ABC的射影为△ABC的外接圆的圆心O′.由题意知OO1＝R2，OA＝R，其中R为球O的半径．在△ABC中，AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝22＋22－2×2×2×－12＝23.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝ACsin120°＝2332＝4，得r＝2，即O′A＝2.在Rt△OO1A中，OO21＋O1A2＝OA2，即R24＋4＝R2，解得R2＝163，故球O的表面积S＝4πR2＝64π3，故选A.二、填空题11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．解析：设底面半径为r，如图所示．12·2πr·l＝2π，∴rl＝2，又∵12πl2＝2π，∴l＝2，∴r＝1.∴h＝l2－r2＝3，∴V＝13·π·12·3＝33π.充分利用展开图是半圆这一条件，才能求出r与l.答案：33π12．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A­BB1D1D的体积为__________cm3.解析：连接AC交BD于O点，∵AB＝AD，3∴ABCD为正方形，∴AO⊥BD.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，B1B⊥面ABCD，又AO⊂面ABCD，∴B1B⊥AO.又B1B∩BD＝B，∴AO⊥面BB1D1D，即AO长为四棱锥A­BB1D1D的高，∴AO＝AC2＝322，SBB1D1D＝BB1×BD＝32×2＝62.∴VA－BB1D1D＝13×62×322＝6.答案：613．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_____．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V＝13×1×1×22＝26.答案：2614．[2014·郑州模拟]在三棱锥A­BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则a2＋b2＝62，b2＋c2＝52，c2＋a2＝52，得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝43π.答案：43π三、解答题15．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形，高HO＝4，O点是AC与BD的交点，如图所示．∴该几何体的体积V＝13×8×6×4＝64.(2)如图所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，侧面HAB中，HE＝HO2＋OE2＝42＋32＝5，∴S△HAB＝12×AB×HE＝12×8×5＝20.侧面HBC中，HF＝HO2＋OF2＝42＋42＝42.∴S△HBC＝12×BC×HF＝12×6×42＝122.∴该几何体的侧面积S＝2(S△HAB＋S△HBC)＝40＋242.答案：(1)64；(2)40＋242.16．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解析：(1)直观图如图所示：(2)方法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何4体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1m.在Rt△BEB1中，BE＝1m，EB1＝1m，∴BB1＝2m.∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝7＋2(m2)．∴几何体的体积V＝34×1×2×1＝32(m3)．∴该几何体的表面积为(7＋2)m2，体积为32m3.方法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝12×(1＋2)×1×1＝32(m3)．∴几何体的表面积为(7＋2)m2，体积为32m3.答案：(1)图略；(2)(7＋2)m2，32m3.