83时间序列的协整和误差修正模型

§3.2协整与误差修正模型CointegrationandErrorCorrectionModel一、长期均衡与协整分析二、协整检验三、误差修正模型一、长期均衡与协整分析EquilibriumandCointegration1、问题的提出•经典回归模型（classicalregressionmodel）是建立在平稳数据变量基础上的，对于非平稳变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。•由于许多经济变量是非平稳的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。•但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。•例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子,从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。•经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述2、长期均衡tttXY10该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。•在t-1期末，存在下述三种情形之一：–Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt；–Y小于它的均衡值：Yt-10+1Xt；–Y大于它的均衡值：Yt-10+1Xt；•在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，即上述第一种情况，则Y的相应变化量为:tttvXY1vt=t-t-1•如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则t期末Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化大一些；•反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，则t期末Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt。•可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。•一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳序列。如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。•式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibriumerror），它是变量X与Y的一个线性组合：tttXY10•如果X与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。•非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。3、协整•如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量=(1,2,…,k)，使得Zt=XT~I(d-b)，其中，b0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，为协整向量（cointegratedvector）。•如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。•3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。)2(~),2(~),1(~IUIVIWttt)0(~)1(~IePcWQIbUaVPtttttt)1,1(~,)1,2(~,CIPWCIUVtttt•（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。•例如，中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，如果它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型是合理的。tttGDPPCCPC10•尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典的回归分析方法建立回归模型。•从这里，我们已经初步认识到：检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。二、协整检验—EG检验1、两变量的Engle-Granger检验•为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，用OLS方法估计方程Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到：tttttYYeXYˆˆˆˆˆ10称为协整回归(cointegrating)或静态回归(staticregression)。第二步，检验et的单整性。如果et为稳定序列，则认为变量YXtt,为(1,1)阶协整；如果et为1阶单整，则认为变量YXtt,为(2,1)阶协整；…。•非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。•需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。•而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。•于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。•MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值。表8.3.1双变量协整ADF检验临界值显著性水平样本容量0.010.050.1025-4.37-3.59-3.2250-4.12-3.46-3.13100-4.01-3.39-3.09∝-3.90-3.33-3.05•例8.3.1利用1978-2006年中国居民总量消费Y与总量可支配收入X的数据，检验它们取对数的序列lnY与lnX间的协整关系。–分别对lnY与lnX进行单位根检验，结论：它们均是I(1)序列。–进行协整回归。–对协整回归的残差序列进行单位根检验，结论：残差序列是平稳的。–由此判断中国居民总量消费的对数序列lnY与总可支配收入的对数序列lnX是（1,1）阶协整的。–验证了该两变量的对数序列间存在长期稳定的“均衡”关系。2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：tttttYXWZ3210非均衡误差项t应是I(0)序列：tttttYXWZ3210然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：tttvWZ110tttvYX210则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们的任意线性组合也是稳定的。例如tttttttYXWZvvv110021由于vt象t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此vt式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1,-0,-1,-2,-3）是对应于t式的协整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。一定是I(0)序列。•检验程序：•对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合。•在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。•如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计及相应的残差项检验。•当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,d）阶协整。•检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受到所检验的变量个数的影响。MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。表8.3.2多变量协整检验ADF临界值变量数=3变量数=4变量数=6样本显著性水平显著性水平显著性水平容量0.010.050.10.010.050.10.010.050.125-4.92-4.1-3.71-5.43-4.56-4.15-6.36-5.41-4.9650-4.59-3.92-3.58-5.02-4.32-3.98-5.78-5.05-4.69100-4.44-3.83-3.51-4.83-4.21-3.89-5.51-4.88-4.56∝-4.30-3.74-3.45-4.65-4.1-3.81-5.24-4.7-4.423、重要讨论：协整方程等价于均衡方程？•协整方程具有统计意义，而均衡方程具有经济意义。时间序列之间在经济上存在均衡关系，在统计上一定存在协整关系；反之，在统计上存在协整关系的时间序列之间，在经济上并不一定存在均衡关系。协整关系是均衡关系的必要条件，而不是充分条件。–例如：农场居民人均消费和城镇居民人均收入之间存在协整关系，但是它们在经济上并不存在均衡关系。–例如：经济增长率和通货膨胀率之间存在协整关系，但是它们在经济上并不存在均衡关系。•均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序列，而协整方程中可以只包含其中的一部分时间序列。–例如：在GDP使用系统中包括GDP使用额、消费额、资本形成额、净出口额。均衡关系存在于4个序列之间，而协整关系可以存在于任意2个、3个序列之间。•协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程的随机扰动项必须是白噪声。•结论：不能由协整导出均衡，只能用协整检验均衡。补充：Johansen协整检验26（1）Johansen协整检验的基本思想•其基本思想是基于VAR模型将一个求极大似然函数的问题转化为一个求特征根和对应的特征向量的问题。•EG检验是基于回归的残差序列进行检验，而Johansen协整检验基于回归系数的协整检验。•根据Stock和Watson（2001），对于宏观计量经济学家，有四个重要的研究项目：•1.描述宏观经济时间序列的动态变化；•2.预测宏观经济时间序列；•3.刻画宏观经济时间序列的因果关系；•4.宏观经济政策分析•Sims（1980）批评大型宏观计量模型并提出一个新的研究方法：向量自回归模型（VectorAutoregressions），简称VAR。Sims认为大型宏观计量模型有以下问题：•（1）模型设定是任意设定的；•（2）为了模型的识别，模型中有太多不可信的限制。•Hansen和West（2002）将VAR与非稳定序列分析（analysisofnonstationarytimeseries）以及广义矩（generalizedmethod-of-moments,GMM）为近25年来宏观时间序列分析最重要的三大发展。•Reduced-formVAR•简化式VAR就是考虑变量均为其自身滞后项以及其它变量滞后项的函数，也就是说，多变量VAR与单一变量AR模型最大的不同之处在于VAR考虑了系统内各变量的动态行为。•假设VAR的落后期数为1期，称之为VAR(1)。以一个三变量的VAR(1)为例，tttttttttttttttyxczyxcyyxcx313313213132123122121211131121111zzz32VAR模型范例•理论：经济体系中，政府经常利用短期利率作为货币政策工具之一，透过短期利率的调整来控制失业率及通货膨胀率。(taiwan_var_data.wf1)•期间：1981M01~2007M06•变数：物价上涨率(pi)、失业率(due)、短期利率(r)-.03-.02-.01.00.01.02.03.0482848688909294969800020406InflationRate-0.8-0.40.00.40.81.282848688909294969800020406Chan