4章专项拓展与训练3

专项拓展与训练1．(2012·重庆)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的()A．轨道半径约为卡戎的17B．角速度大小约为卡戎的17C．线速度大小约为卡戎的7倍D．向心力大小约为卡戎的7倍答案A2．1995年人类在太阳系以外首次发现绕恒星公转的行星，此后，又相继发现了一百五十多颗在太阳系以外的行星．检测出这些太阳系以外的行星的原理可以理解为，质量为M的恒星和质量为m的行星(M＞m)，在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着．如下图所示，我们认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(注意：图中没有表示出恒星，且恒星不在C点．)设万有引力常量为G，恒星以及行星的大小忽略不计．如图所示，行星在逆时针轨道上进行公转，恒星与行星间的万有引力为行星做圆周运动提供向心力．解答下列问题：(1)恒星、行星、点C之间的位置关系如何？叙述其理由．(2)求恒星和点C之间的距离，行星的速率v，恒星的速率v′.设置目的对双星类问题做进一步巩固，同时加强对万有引力和圆周运动综合的应用．解析(1)根据题意，行星以定点C为中心做匀速圆周运动，所以作用在行星上的向心力的大小是一定的，方向指向点C；作用在恒星上的力是其作用在行星上的力的反作用力．所以，如图所示，恒星在行星和点C的连线上，作用在恒星上的力也指向C.另外，在行星和恒星所构成的系统中，由于没有外力作用，所以行星、恒星、点C的位置关系如图所示，行星、恒星、和点C处于同一直线上，C位于行星与恒星之间．(2)设恒星和点C之间的距离为b，由于恒星和行星转动的角速度相等，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力，可得GMma＋b2＝mω2aGMma＋b2＝Mω2b联立以上两式，解得b＝mMa(最快的是mω2a＝Mω2b)根据GMma＋b2＝mv2a解得v＝MM＋mGMa同理解得v′＝mM＋mGMa答案(1)行星、恒星、和点C处于同一直线上，C位于行星与恒星之间；(2)mMa、MM＋mGMa、mM＋mGMa3．(2010·大纲全国Ⅰ)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L，已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G.(1)求两星球做圆周运动的周期．(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)解析(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等．且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，r＋R＝L联立解得R＝mM＋mL，r＝MM＋mL对A根据牛顿第二定律和万有引力定律，得GMmL2＝m4π2T2MM＋mL化简得T＝2πL3GM＋m(2)将地月看成双星，由(1)得T1＝2πL3GM＋m将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律，得GMmL2＝m4π2T22L化简得T2＝2πL3GM所以两种周期的平方比值为(T2T1)2＝M＋mM＝5.98×1024＋7.35×10225.98×1024≈1.012答案(1)2πL3GM＋m，(2)1.012名师点拨从以上计算结果可以看出差别为1.23%(计算器按出数值周期平方比1.01229097)，所以看成是绕地球中心运动是允许的．4．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍，利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(万有引力常量为G)解析设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2，根据题意有ω1＝ω2①r1＋r2＝r②根据万有引力定律和牛顿运动定律，有Gm1m2r2＝m1ω21r1③Gm1m2r2＝m2ω22r2④联立以上各式，解得r1＝m2rm1＋m2⑤根据角速度与周期的关系，知ω1＝ω2＝2πT⑥联立③⑤⑥式，解得m1＋m2＝4π2T2Gr3答案4π2T2Gr35．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m.(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？设置目的进一步理解双星类问题及其解决问题的思路，应用万有引力定律解决实际问题的能力．解析(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律，有F1＝Gm2R2，F2＝Gm22R2，F1＋F2＝mv2R运动星体的线速度v＝5GmR2R周期为T，则有T＝2πRv，T＝4πR35Gm(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R′＝r2cos30°由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供．由力的合成和牛顿运动定律，有F合＝2Gm2r2cos30°F合＝m4π2T2R′由以上四式得r＝(125)13R答案(1)T＝4πR35Gm(2)r＝(125)13R