4第四章作业

二、匀质的厚壁圆筒质量为m，内外半径分别为R1和R2．试计算它对中心轴的转动惯量。【答案：)(212221RRm】解：设该匀质的厚壁圆筒的密度为，高为h。在圆筒上取一个半径为r、宽度为dr的微分圆筒，如图所示。其质量为rrhmdπ2d该微分圆筒对中心轴的转动惯量为rhrmrJdπ2dd32对上式积分得)(21dπ24142321RRhrhrJRR由题意可知hRRm)(2122因此，整个圆盘对给定轴的转动惯量为hRRmRRhJ)()(2121224142)(212221RRm四、有一个半径为R、质量为m的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦系数为，如果平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将旋转几圈停止？【答案：gRπ16320】解：考虑到圆盘上距离转轴相等的点摩擦力臂相等，我们在圆盘上取与圆盘同心的微分环带，它受到水平面的摩擦力矩为rrRmgrrπRmgrmgrfrMfd2d2πddd222对上式积分，即得整个圆盘受到水平面的摩擦力矩为dr图4-11OrR1R2mgRrrRmgMMRSff32d2d022由转动定律得平板绕固定轴转动的角加速度大小为RgmRmgRJMf34)21/()32(2设平板停止转动前转过的角位移为，由公式2202得gR8322020因此，平板停止转动前转过的圈数为gRNπ163π220六、一根轻绳跨过两个质量分别为m和2m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量分别为m和4m的重物，如图4-35所示。绳与滑轮间没有相对滑动，滑轮轴光滑。将两个定滑轮和两个重物组成的系统从静止释放，求各段绳子中的张力。【答案：mg1328；mg1322；mg1319】解：两个重物和两个定滑轮的受力情况及其加速度和角加速度如图所示。对两个重物应于牛顿定律得maFmg441TmamgF2T对两个定滑轮应用转动定律得2T1TmrrFrF2T2T21mrrFrF重物的加速度a和定滑轮的角加速度之间的关系为ra以上五个方程联立解得2m,r图4-35m,r4mmmg42m,r图4-35m,r4mmmg1TF2TFTFaamgF13281TmgF1322TmgF13192T七、质量分别为m和2m、半径分别为R和2R的两个均匀圆盘同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为229mRJ，大小圆盘边缘各绕有一根绳子，绳子下端都挂有一个质量为m的重物，如图4-36所示。求圆盘的角加速度的大小和两段绳子中的张力。【答案：Rg192；mg1921；mg1915】解：两个重物和两个定滑轮的受力情况及其加速度和角加速度如图所示。对两个重物应于牛顿定律得11TmamgF22TmaFmg对定滑轮应用转动定律得2T12T292mRRFRF重物的加速度a1、a2与定滑轮的角加速度之间的关系为Ra1Ra22以上五个方程联立求解，得Rg192mgF1921T1mgF19152T十、如图4-39所示，一根匀质细棒长为l，质量为m，以与棒长垂直的速度在光滑水平面内平动时，与前方一个固定的光滑支点C发生完全非弹性碰撞。碰撞点到棒一端的距离为l41。试求该棒在碰撞以后的瞬间，绕C点转动的角速度。【答案：l712】解：碰撞前瞬时，由于棒上各点的速度相等，因此整根棒对C点的角动量为图4-36mm2mm2RR图4-39C4/3l图4-36mm2mm2RRmgmgFT1FT2a2a124/04/30141ddlxxxxLll其中棒的质量线密度为lm，因此lmlmlL414121在碰撞后瞬时，棒对C点的角动量为2222487])4(121[mllmmlJL由于棒在光滑水平面内运动，在碰撞前后所受的合外力矩为零，因此角动量守恒，即lm412487ml由此解得该棒绕C点转动的角速度为l712十一、如图4-40所示，在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一个人静止站立在距转轴R21处，人的质量是圆盘质量的0.1倍。开始时盘载人相对于对地面以角速度0匀速转动，然后此人沿与盘转动相反的方向以速率相对于圆盘作圆周运动。试求(1)圆盘相对于对地面的角速度；(2)如果想使圆盘停下了，速率的方向如何？大小应等于多少？【答案：R2120；与盘的初始转动方向一致，R0221】解：(1)设人沿与盘转动相反的方向以速率相对于圆盘作圆周运动时，圆盘对地的角速度为，则人对地的角速度为RR22/将人与盘作为一个系统，由于系统受到的对转轴的合外力矩为零，因此系统的角动量守恒。设盘的质量为M，则)2()2(1.021)2(1.02122022RRMMRRMMR解之得R2120图4-40R/2R(2)如果想使圆盘停下了，应有=0，即02120R解之得R0221式中负号表示人的走动方向与题目中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致。十四、如图4-42所示，一个质量为0.1kg的小球固定在刚性轻杆的一端，该杆的长度为0.2m，可以绕通过O点的水平光滑固定轴转动。将杆拉起使小球与O点在同一高度处，放手使小球由静止开始运动。当小球落到最低点时，与一个倾角为30°的光滑固定斜面发生完全弹性碰撞，碰撞过程历时0.01s。在碰撞过程中，小球受到斜面的平均冲力大小等于多少？【答案：79.2N】解：杆与小球组成一个绕O轴转动的刚体。设小球落到最低点与斜面发生碰撞前的角速度为0，则2021Jmgl解之得lgmlmglJmgl22220由于斜面是固定的，小球与斜面发生完全弹性碰撞后将被反弹回来，即小球碰撞后的角速度为lg20设在碰撞过程中小球受到斜面的平均冲力为F，其方向与斜面垂直。由刚体定轴转动的角动量定理得002sinJJJtlF由此式解得小球受到斜面的平均冲力大小为N2.79sin222sin2sin220tglmlgtlmltlJF图4-42O十五、如图4-43所示，长度为l、质量为M的匀质细杆可以绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置。邻近O点悬挂一个单摆，轻质摆线的长度也是l，摆球质量为m。如果单摆从水平位置由静止开始自由摆到竖直位置时，摆球与细杆发生完全弹性碰撞，碰撞后摆球恰好静止。求(1)细杆的质量与摆球质量的关系；(2)细杆离开竖直位置的最大角度。【答案：mM3；31arccos】解：(1)设摆球摆到竖直位置时的速度为0，由机械能守恒定律得2021mmgl摆球与细杆碰撞过程中系统角动量守恒，设碰撞后细杆的角速度为，有lmJ0此外，由于摆球与细杆的碰撞是完全弹性碰撞，因此碰撞过程中机械能守恒，即2022121mJ注意到细杆的转动惯量231MlJ，以上三式联立求解，得细杆的质量与摆球质量的关系mM3(2)设细杆离开竖直位置的最大角度为，由机械能守恒定律得)cos1(21212MglJ其中mglmJ2022121，mM3，因此31cos或31arccosOl图4-43Mm