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1北师大版初中数学培训资源之JC058年级上册教材分析与问题研讨资料来源：北师大初中数学教材组执笔人：章飞2012年12月一、教材总体思路分析（一）本学期学习的主要内容及课时安排章节序号章节名称课时数第一章勾股定理41探索勾股定理22一定是直角三角形吗13勾股定理的应用1第二章实数111无理数22平方根23立方根14估算15用计算器开方16实数17二次根式及其运算32第三章位置与坐标51确定位置12平面直角坐标系33轴对称与坐标变化1第四章一次函数71函数12一次函数与正比例函数13一次函数的图象24一次函数的应用3第五章二元一次方程组8+11认识二元一次方程组12解二元一次方程组23应用二元一次方程组---鸡兔同笼14应用二元一次方程组---增收节支15应用二元一次方程组---里程碑上的数16二元一次方程（组）与一次函数27*三元一次方程组1第六章数据的分析61平均数22中位数与众数133从统计图分析数据的集中趋势14数据的离散程度2第七章平行线的有关证明71为什么要证明12定义与命题23平行线的判定14平行线的性质15三角形内角和定理2综合与实践计算器运用与功能探索2综合与实践哪一款“套餐”更合适2综合与实践哪个城市夏天更热2（二）各章整体设计与内容的组织1.本册各章之间的关系本册前五章之间存在内在的逻辑关系。在古希腊时期先有了平面几何的重要定理---勾股定理，其后对于一些特殊量度的研究得出不可公度的量，形成了不可比的数（无理数）的概念、实数的概念。实数可以和数轴上的点形成一一对应，这个时候，数轴也变成了“实”的、连续的，因此，可以用以刻画连续变化的量。在“实”的数轴的基础上拓展出的平面直角坐标系，就可以将平面上的点一网打尽了。只有建立了平面直角坐标系，才可以从“形”的角度认识函数、一次函数。本套教科书特别注重揭示函数与方程的联系，力图从“形”的角度认识方程，因此，在一次函数的基础上才能认识二元一次方程的图像。42.为什么先研究勾股定理再研究实数利用勾股定理解决问题的过程中，一般都涉及到开方运算，而具体情境中多数是开不尽的，因此需要学习开方的一般表示。为此，多数教科书都是先研究实数（平方根、无理数、根式甚至根式运算），再研究勾股定理。可北师大版教材却反过来，先研究勾股定理再研究实数，原因何在？为此，我们需要分析两种做法各自的特点。先学习实数再学习勾股定理的好处是：先准备好了根式的有关知识，然后利用勾股定理解决问题时，数据可以更加真实，运算更为便捷。但也存在与生俱来的不足：违背了数学历史发展的规律；而难能揭示无理数研究的必要性；只能设计有关面积的问题背景，十分单调。作为平面几何有关度量的最基本定理，勾股定理有着悠久的历史，人类文明的早期基本都自主地得到了勾股定理；而历史上，古希腊人从几何图形研究中，发现一些量是不可公度的（这些量不能同时是某个基本度量单位的整数倍），也就是说这两个量的比不是整数，因而得出不可比的数（由于翻译的偏差，误译为无理数）；至于无理数的小数表示和小数定义（无限不循环小数），那是以后的事（古希腊当时还没有十进位值呢）。也就是说，历史上，是先在理性思考的基础上，发现不可比的数（无理数），接着才研究其小数表示和根式表示的。先学习无理数再学习勾股定理，不符合历史顺序。先学习无理数再学习勾股定理，也无法让学生感受无理数学习的必要性。先学习无理数再学习勾股定理时，教科书一般这样引出平方根的概念：提问“±2的平方等于4，±2叫做4的平方根，那么2的平方根等于多少呢？如何表示呢？”从而引出平方根的概念和表示，接着研究2,3的小数表示，引出无理数的概念。这样做，学生难免有这样的疑问“有平方等于2的数吗”“学习过的数的平方都不等于2，那这样的数就不存在呗，干嘛还得研究？”对无理数研究的必要性提出质疑。而先学习勾股定理再学习无理数，则避免了上述缺点，顺应了历史发展的顺序，也符合学生的认知顺序，后面无理数一章的题目背景更为丰富。教科书首先通过拼图活动得出面积为2的正方形，也就是说，发现一个数的平方等于2，切实感受到这个数的存在性；接着思考这个数是不是原来学习过的数，发现不是原来学习过的数，进而研究这类数的小数表示和定义，得出无理数的概念；接着，研究这样的数的表示，得出平方根、立方根的概念。这样的活动设计，与历史上无理数发现的过程是一致的，也符合学生的认知规律，同时让学生体会到抽象的数学概念在现实生活中有其实际背景。5也有老师，对这个活动中学生能否感受a不是分数存在疑问。教材组在编写这一课时时特意进行过教学实验，教材组两位老师到两所学校进行了教学实验，学生基本都能自主的获得这个结论。如学生说：“12=1，22=4，32=9，越来越大，所以a不可能是整数”，“,943232,412121结果都为分数，所以a不可能是分数”，“两个相同的分数，分子分母已经都约过分了，相乘后肯定不好再约分了，因此不可能是整数2”实际上，学生最后的说法就是严格的证明了。教学中只要给学生适当的空间，学生应该能够认识到这一点的。此外本课时后面还有一个阅读材料：无理数的发现，教师可提示有兴趣的同学课后阅读。当然，这样的教科书设计不可避免地带来了一些不便，如需要精心选择勾股定理一章例、习题中的数据。但也应认识到，如果学生能感受到数据需要选择，可能更能感受到一般表示的必要性，从而产生学习实数的内在需要。此外，在下一章实数内容学习中，可以回过来解决利用勾股定理的应用问题，加强了代数与几何的联系，使得两章成为一个整体。3.为什么先研究一次函数再研究二元一次方程组确定一般的一次函数表达式，需要确定其两个参数k和b，因而需要具备解二元一次方程组的有关技能。因此，多数教科书中，先学习二元一次方程组再学习一次函数。我们教科书又反过来了，为什么？首先我们看一看标准的要求。标准指出：会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。老师们难免有疑问：“一元二次方程都可以直接用公式求解，为什么还需要利用图像求近似解”，“图像毕竟难画，图像上看到的解不准确”要回答这个问题，得从学生未来发展的高度去思考。我们固然希望能得到每一个方程的公式解，或者这类方程的一般解决方案，但遗憾的是，对于五次及五次以上的整式方程，数学家已经证明其没有公式解，何况更一般的方程呢？甚至于现实生活中函数表达式都难以6严格刻画，只能从图像上感知，这时，图像求近似解就是解决这类问题的一般方法。正是基于这个考虑，标准要求利用图像求近似解。实际上，利用图像求近似解，还可以给学生提供认识方程的另一个视角-----“形”的视角，发展学生的数形结合意识；此外，初中阶段感受图像解法也可以为高中学习提供很好的铺垫，高中解析结合不正是借助联立方程解决几何问题的吗！正是，为了让学生感受方程对应的图像，发展数形结合的意识，因此，教科书先学习一次函数然后学习二院一次方程组。具体设计如下：第4章设计了一节确定函数表达式和一节利用函数图象解决问题。第5章第6节分析了满足二元一次方程的有序数对与一次函数图象上点之间的对应关系，建立了二元一次方程与一次函数之间的联系，进而顺理成章地让学生认识到“利用两个一次函数的图像可以求解相应的二元一次方程组”。同时，二元一次方程组又为一次函数代数表达式的确定提供了工具，为此，又设计了一课时，以图象的形式呈现了一个具体问题，让学生从图象中获取有关信息并解决问题，当然学生的解法将是多样的，可以直接根据实际意义从代数上得到问题的解决，也可以如第4章一样，仅仅观察图象得到近似结果，但肯定也有同学不满足于图象的近似结果，从而希望获得图象所对应的代数表达式，这也就是利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，这样得到二元一次方程组在数学中的一种应用，同时也将函数和方程紧密地联系在一起，使得第4、5两章给人浑然一体的感觉。二、各章具体内容解析（一）第一章：勾股定理1.教学目标（1）经历勾股定理及直角三角形判别条件（勾股定理逆定理）的探索过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，进一步发展学生的推理能力；（2）掌握勾股定理及其逆定理，并能利用它们解决简单的问题；（3）通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值。2.设计思路与课时安排教科书设计了3节内容：第1节，探索勾股定理（2课时）；第2节，“一定是直角三角形吗”（1课时），探索勾股定理的逆定理；第3节，“勾股定理的应用（1课时），巩固勾股定理及其逆定理。7在每节的编写中，仍然遵循本套教科书的编写风格，按照“问题情境---建立模型---解释、拓展与应用”的模式展开，首先通过具体问题情境，引入研究的必要性，接着设计探究活动获得有关结论，然后运用探究得到的结论解决具体问题。3.教学与评价建议（1）注重使学生经历探索勾股定理等活动过程教科书安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动，教师应鼓励学生充分从事这些活动，通过观察、实验、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。（2）注重创设丰富的现实情境，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用勾股定理和逆定理在现实世界中有着广泛的应用，教师应充分利用教科书中的素材，让学生体会这种应用，如利用勾股定理求出一些表面距离的最小值，进行各种距离的测量，利用结绳的方法作出直角等。教师还可以创设其他现实情境或者鼓励学生自己寻找有关问题，进一步展现勾股定理和逆定理在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息。（3）尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值勾股定理的发现、验证及应用的过程中蕴含着丰富的文化价值，很多古文明都独立地发现了勾股定理，中国也是最早认识勾股定理的国家之一，古希腊在勾股定理的运用中，发现了无理数，进而导致了数学史上第一次关于数学基础的危机。关于勾股定理的历史材料十分丰富，教学中教师应鼓励学生阅读教科书中的相关材料，还可以再展现一些历史资料，以拓宽学生的视野。有条件的话，还可以引导学生自己从有关书籍、网络上收集资料，了解更多的历史资料，体会勾股定理的文化价值。（4）注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透在勾股定理的探索与验证活动中，蕴含着丰富的数学思想，如数形结合的思想，化归思想等。教学中，教师应注意渗透并揭示这些数学思想方法。如数形结合，教师应鼓励学生由代数表示联想到有关几何图形，由几何图形联想到有关代数表示，从而认识数学的内在联系。（5）关注对探究勾股定理等活动过程的评价教科书设计了大量的探究活动，这些活动对于发展学生的空间观念和推理能力很有帮助，因此，对这些活动过程的考察成为学习评价的主要方面。对于这些活动的评价，可以关注多个方面：如活动中学生是否积极参与，是否能和同伴进行有效的合作交流，能否积极的思考，能否提出解决问题的策略，否开展积极8的联想(如由数联想到形，由形联想到数)，能否有条理地表述活动过程和所获得的结论等。如果有条件，还可以让学生课外搜集有关勾股定理的资料，并进行课堂展示、交流、评析，通过这些活动来考察学生的各方面能力的发展状况。（二）第2章：实数1.教学目标（1）经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程，发展抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力。（2）结合具体情境，让学生理解估算的意义，能进行简单的估算，发展学生的数感和估算能力。（3）了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会求平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简。（4）能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的应用价值。2.设计思路与课时安排本章设计了7节。1．无理数2课时2．平方根2课时3．立方根1课时4．估算1课时5．用计算器开方1课时6．实数1课时7．二次根式及其运算3课时具体地，首先通过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念；然后，通过具体问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算。由于在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值，为此教科书安排了一节内容：估算，介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验计算结