5-6匀速圆周运动的实例分析

匀速圆周运动的实例分析本节是圆周运动实例，是高考对圆周运动知识考查的落脚点，我们应给予足够的重视核心知识1.向心力的来源向心力并不是一种特殊的、另外的力，它可以由一个力或几个力的合力来提供.在解决圆周运动有关问题时，分析向心力的来源是非常重要的，以下是几类典型情况.1)水平面的圆周运动①汽车转弯汽车在水平的圆弧路面上的做匀速圆周运动时(如图6-1甲所示)，是什么力作为向心力的呢?如果不考虑汽车翻转的情况，我们可以把汽车视为质点.汽车在竖直方向受到的重力和支持力大小相等、方向相反，是一对平衡力；如果不考虑汽车行驶时受到的阻力，则汽车所受的地面对它的摩擦力就是向心力，如图6-1乙所示.如果考虑汽车行驶时受到的阻力Ff，则静摩擦力沿圆周切线方向的分Ft(通常叫做牵引力)与阻力Ff平衡，而静摩擦力指向圆心的分力Fn就是向心力，如图6-1丙所示，这时静摩擦力指向圆心的分力Fn也就是汽车所受的合力.②火车转弯火车转弯时，是什么力作为向心力呢?如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力F就是使火车转弯的向心力(如图6-2所示).设转弯半径为r，火车质量为m，转弯时速率为v，则，F=m.由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏.实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径r和规定的行驶速度v0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力来提供，如图6-3所示.必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上.F=Gtgα=mgtgα，故mgtgα=m,通常倾角α不太大，可近似取tgα=h/d，则hr=d.我国铁路转拐速率一般规定为v0=54km/h,即v0=15m/s,轨距d=1435mm,所以hr为定值.铁路弯道的曲率半径r是根据地形条件决定的.2)竖直平面内的圆周运动①汽车过凸桥我们先来分析汽车过拱桥最高点时对桥的压力.设汽车的质量为m，过最高点时的速度为v，桥面半径为r.汽车在拱桥最高点时的受力情况如图6-4所示，重力G和桥对它的支持力F1的合力就是汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下(指向圆心)所以G-F1=m，则F1=G-m.汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力故压力F1′＝F1＝G-m.典型例题例2质量为m的汽车，以速度V通过半径R的凸形桥最高点时对桥的压力为，当速度V′＝时对桥的压力为零，以速度V通过半径为R凹型最低点时对桥的压力为.分析汽车以速率V作匀速圆周运动通过最高点时，牵引力与摩擦力相平衡，汽车在竖直方向的受力情况如图6-8所示.汽车在凸桥的最高点时，加速度方向向下，大小为a=v2/R,由F=mamg-N1=mv2/R所以，汽车对桥的压力N1′=N1=mg-mv2/R当N1′=N1=0时，v′=.汽车在凹桥的最低点时，竖直方向的受力如图6-9所示，此时汽车的加速度方向向上，同理可得，N2′=N2=mg＋mv2/R.小结由分析可以看出，圆周运动中的动力学问题只是牛顿第二定律的应用中的一个特例，与直线运动中动力学的解题思路，分析方法完全相同，需要注意的是其加速度a=v2/R或a=ω2R方向指向圆心.例4长L=0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接一个零件A，A的质量为m=2kg，它绕O点做圆周运动，如图6-11所示，在A通过最高点时，求下列两种情况下杆受的力：(1)A的速率为1m/s，(2)A的速率为4m/s.分析杆对A的作用力为竖直方向，设为T，重力mg与T的合力提供向心力，由F=ma，a=v2/R，得mg+T=mv2/RT=m(v2/R-g)(1)当v=1m/s时，T=2(12/0.5-10)N=-16N(2)当v=4m/s时，T=2(42/0.5-10)N=44N(1)问中T为负值，表明T与mg的方向相反，杆对A的作用力为支持力.讨论(1)由上式，当v=时，T＝0，当v＞时，T为正值，对A的作用力为拉力，当v＜时，T为负值，对A的作用力为支持力.(2)如果把杆换成细绳，由于T≥0，则有v≥.例5如图6-12甲所示，质量为m的物体，沿半径为R的圆形轨道自A点滑下，A点的法线为水平方向，B点的法线为竖直方向，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，物体滑至B点时的速度为v，求此时物体所受的摩擦力.解析：物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道对其弹力及轨道对其摩擦力的作用，物体一般做变速圆周运动.已知物体滑到B点时的速度大小为v，它在B点时的受力情况如图6-12乙所示.其中轨道的弹力FN、重力G的合力提供物体做圆周运动的向心力，方向一定指向圆心.故FN-G=mFN=mg+m，则滑动摩擦力为F1=μFN=μ(mg+m).这里的分析和计算所依据的仍是普遍的运动规律——牛顿第二定律，只是这里的加速度是向心加速度.向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动得出的，但向心力公式F＝m实际上就是牛顿第二定律的一种特殊形式，因此也适用于变速圆周运动.在变速圆周运动中，上式中的v必须用对应位置的瞬时速度值.由图6-12乙可知，物体所受的合力是轨道的弹力FN、摩擦力F1重力G这三个力的合力，方向应斜向上，在此我们再次看到物体做变速圆周运动时的向心力与其所受的合力是不同的.关于“匀速圆周运动的实例”的常见问题问题1:地球以多高速度自转就失去大气层？维护地球大气层，使大气不至散失到宇宙的力是万有引力。如果一颗行星的自转速度大于临界速度，那么大气所受的引力将小于离心力，大气层就会散失掉。而所谓的临界速度就是离心力和万有引力相等时的自转速度。对地球来说，临界速度略大于每秒11公里，而地球现在的自转速度为每秒0.5公里，因此大气层不会被甩掉。如果一颗行星的的自转速度达到了它的临界速度，那么它上面的居民和所有的东西都将被甩向外太空，但行星本身还不会四分五裂，因为使构成行星的物质结合在一起的力是电磁力而不是万有引力。问题2:用久了的电风扇，常会出现噪声较大甚至“点头”等毛病，这是为什么呢？原来，电风扇在出厂前都经过严格的测试，使得转轴和扇页的重心都能在电扇转轴的轴线上。这样，当电扇转动时，转轴和扇页上各点都在绕轴线做匀速圆周运动，它们所需的向心力由转轴来提供。由于转轴和扇页的质量分布均匀对称，所以它们对转轴的作用力的合力为零。用久了的电风扇，由于各种原因，使得转轴和扇页的重心不在电扇的轴线上，而相当于一个偏离心轮。当电扇转动时，由于各部分对转轴的作用力不同，而使得电扇出现“点头”的现象，同时还会出现较大的噪声。匀速圆周运动的实例分析教学重点：分析向心力来源．教学难点：实际问题的处理方法．一、讨论向心力的来源：例如：万有引力提供向心力（人造地球卫星）；弹力提供向心力（绳系小球在光滑水平面上的匀速圆周运动）；摩擦力力提供向心力（物价在转盘上随转盘一起转动）；合力提供向心力（圆锥摆等）．二、讨论火车转弯：（一）火车车轮有凸出的轮缘．（二）外轨作用在火车轮缘上的力F是使火车必须转弯的向心力．（三）外轨高于内轨时重力与支持力的合力是使火车转弯的向心力．（四）讨论：为什么转弯处的半径和火车运行速度有条件限制？三、讨论汽车过拱桥：（一）思考：汽车过拱桥时，对桥面的压力与重力谁大？（二）汽车过拱桥在最高点的受力情况（变变）（三）汽车过凹形桥时低点时的受力情况（变变）（四）总结在圆周运动中的超重、失重情况．火车转弯如图1所示，如果火车转弯处内外轨无高度差，火车行驶到此处时，由于火车惯性的缘故，会造成外轨内侧与火车外轮的轮缘相互挤压现象，使火车受到外轨内侧的侧压力作用．迫使火车转弯做圆周运动．但是这个侧压力的反作用力，作用在外轨上会对外轨产生极大的破坏作用，甚至会引起外轨变形，造成翻车事故．其实火车转弯的向心力并不是侧压力提供的，那么是什么力作为向心力的呢？如图2所示，在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与重力G的合力指向圆心，成为使火车转弯的向心力．设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为．由图2所示力的三角形得向心力为：由牛顿第二定律得：所以：即火车转弯的规定速度：讨论（1）当火车行驶速率v等于规定速度时，，内、外轨道对轮缘都没有侧压力．（2）当火车行驶速度v大于规定速度时，，外轨道对轮缘有侧压力．（3）当火车行驶速度v小于规定速度时，，内轨道对轮缘有侧压力．