5.25根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系填空题31．（2006•潍坊）（A题）已知a≠0，a≠b，x=1是方程ax2+bx﹣10=0的一个解，则的值是_________．32．（2006•上海）方程x2+3x﹣4=0的两个实数根为x1、x2，则x1•x2=_________．33．（2005•重庆）已知方程3x2﹣9x+m=0的一个根是1，则m的值是_________．34．（2002•天津）关于x的方程x2﹣ax﹣3a=0的一个根是﹣2，则它的另一个根是_________．35．（2002•常州）已知方程x2+mx﹣6=0的一个根为﹣2，则另一个根是_________．36．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则x1+x2=_________．37．已知方程x2+kx+3=0的一个根是﹣1，则k=_________，另一根为_________．38．已知方程x2﹣3x+1=0的两根是x1，x2，则：x1+x2=_________，x1x2=_________．39．如果x1，x2是方程x2﹣5x+6=0的两个根，那么x1•x2=_________．40．（2000•辽宁）已知α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+αβ+2α的值为_________．42．已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为_________．43．（2004•天津）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为_________．44．（2003•吉林）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的两个根分别为x1，x2，则x12+x22=_________．45．（2004•宁波）等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的两根，则m的值为_________．解答题46．（2010•毕节地区）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22=0时，求m的值．47．（2009•中山）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．48．（2008•中山）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0（m为实数），（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．49．（2008•兰州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求a的值．50．（2006•沈阳）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0．（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值．51．（2004•江西）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0，（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．52．（2009•鄂州）已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．153．（2008•湘潭）阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=﹣，x1x2=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x﹣3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=6，x1x2=﹣3则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2（﹣6）2﹣2×（﹣3）=42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，求：（1）的值；（2）（x1﹣x2）2的值．54．（2008•广东）（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表方程x1x2x1+x2x1•x29x2﹣2=02x2﹣3x=0x2﹣3x+2=0关于x的方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0，b2﹣4ac≥0）（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．55．（2008•濮阳）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，且x12x22﹣x1﹣x2=115．（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值．56．（2008•梅州）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0…①（1）若x=﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．57．（2007•株洲）已知x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一个解，且a≠b，求的值．58．（2007•青海）先阅读，再填空解答：方程x2﹣3x﹣4=0的根是：x1=﹣1，x2=4，则x1+x2=3，x1x2=﹣4；方程3x2+10x+8=0的根是：x1=﹣2，，则x1+x2=﹣，x1x2=．（1）方程2x2+x﹣3=0的根是：x1=_________，x2=_________，则x1+x2=_________，x1x2=_________；（2）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c为常数）的两个实数根，那么x1+x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2=_________，x1x2=_________；（3）如果x1，x2是方程x2+x﹣3=0的两个根，根据（2）所得结论，求x12+x22的值．59．（2006•南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0，（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）若方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2，求m的值．60．（2006•江西）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2，求k的值．1参考答案与试题解析填空题31．（2006•潍坊）（A题）已知a≠0，a≠b，x=1是方程ax2+bx﹣10=0的一个解，则的值是5．考点：一元二次方程的解；分式的化简求值．3431845分析：根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形求则可．欲求的值，可先将此代数式进行分解因式化简．化简后为，再将x=1代入方程ax2+bx﹣10=0中求出a+b的值即可．解答：解：==，将x=1代入方程ax2+bx﹣10=0中可得a+b﹣10=0，解得a+b=10则=5，故填5．点评：本题综合考查了分式的化简与方程解的定义．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．32．（2006•上海）方程x2+3x﹣4=0的两个实数根为x1、x2，则x1•x2=﹣4．考点：根与系数的关系．3431845分析：根据一元二次方程中根与系数的关系即可求解．解答：解：由根与系数的关系可得x1•x2=﹣4．点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．33．（2005•重庆）已知方程3x2﹣9x+m=0的一个根是1，则m的值是6．考点：根与系数的关系．3431845分析：欲求m，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x=1，∴，解得m=6．点评：此题也可将x=1直接代入方程3x2﹣9x+m=0中求出m的值．34．（2002•天津）关于x的方程x2﹣ax﹣3a=0的一个根是﹣2，则它的另一个根是6．考点：根与系数的关系．3431845分析：首先根据根与系数的关系建立另一根和a的方程，然后解方程求出另一根．解答：解：设方程的两根为x1，x2，由题意知x1+x2=﹣2+x2=a，x1x2=﹣2x2=﹣3a，解得：a=4，x2=6，1∴另一根为6．故填空答案：6．点评：此题主要利用了根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=，要正确记住其形式．35．（2002•常州）已知方程x2+mx﹣6=0的一个根为﹣2，则另一个根是3．考点：根与系数的关系．3431845分析：此题直接根据根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根．解答：解：∵x2+mx﹣6=0的一个根为﹣2，∴另一个根x=﹣6÷（﹣2）=3．故填空答案：3．点评：根据一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系：x1+x2=﹣，xlx2=解答．36．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则x1+x2=﹣6．考点：根与系数的关系．3431845分析：题目所求x1+x2的结果正好为两根之和的形式，根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2的值．解答：解：由根与系数的关系可得x1+x2=﹣6．故本题答案为：﹣6．点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．37．已知方程x2+kx+3=0的一个根是﹣1，则k=4，另一根为﹣3．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．3431845分析：可设出方程的另一个根，根据一元二次方程根与系数的关系，可得两根之积是3，两根之和是﹣k，即可列出方程组，解方程组即可求出k值和方程的另一根．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x2=﹣1∴解得x1=﹣3，k=4．故本题答案为k=4，另一根为﹣3．点评：此题也可先将x=﹣1代入方程x2+kx+3=0中求出k的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根．38．已知方程x2﹣3x+1=0的两根是x1，x2，则：x1+x2=3，x1x2=1．考点：根与系数的关系．3431845分析：根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．解答：解：根据题意a=1，b=﹣3，c=1，∴x1+x2==3，x1x2==1，故填3，1点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．139．如果x1，x2是方程x2﹣5x+6=0的两个根，那么x1•x2=6．考点：根与系数的关系．3431845分析：此题比较简单，可以直接根据一元二次方程根与系数的关系得到x1•x2的值．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴x1•x2=6．故填空答案：6．点评：根据一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系：x1+x2=﹣，xlx2=解答．40．（2000•辽宁）已知α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+αβ+2α的值为0．考点：根与系数的关系．3431845分析：欲求α2+αβ+2α=α（α+β）+2α的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴α+β=﹣2，又∵α2+αβ+2α=α（α+β）+2α，∴α2+αβ+2α=﹣2α+2α=0．故填空答案：0．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．42．已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为10．考点：根与系数的关系．3431845分析：根据===，根据一元二次方程根与系数的关系可得：两根之积与两根之和的值，代入上式计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣6，x1•x2=3．又∵===，将x1+x2=﹣6，x1•x2=3代入上式得原式==10．故填空答案为10．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．143．（2004•天津）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为