52方案设计与决策型问题

方案设计与决策型问题[*z%zstep#.~co^m]一、选择题1、（山东省德州二模）今年是祖国母亲60岁生日，小明、小敏、小新商量要在国庆前夕给祖国母亲献礼，决定画5幅国画表达大伙的爱国之情。小明说：“我来出一道数学题：把剪5幅国画的任务分配给3个人，每人至少1幅，有多少种分配方法?”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解。”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是()A．7个B．6个C．5个D．3个答案：B2、（2012山东省德州三模）现有边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作镶嵌(两种地砖的不同拼法视为同一种组合),则不同组合方案共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种答案：B3、（山东省德州二模）今年是祖国母亲60岁生日，小明、小敏、小新商量要在国庆前夕给祖国母亲献礼，决定画5幅国画表达大伙的爱国之情。小明说：“我来出一道数学题：把剪5幅国画的任务分配给3个人，每人至少1幅，有多少种分配方法?”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解。”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是()A．7个B．6个C．5个D．3个答案：B4、（2012山东省德州三模）现有边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作镶嵌(两种地砖的不同拼法视为同一种组合),则不同组合方案共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种答案：B三、解答题1、（2012山东省德州三模）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（BCAB，且ACBC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直．线．即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．[*z@z&step.~c^om]ABCABC图1图2（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．答案：解：(1)作线段AC的中垂线BD即可.………………………………………………2分(2)小华不会成功．若直线CD平分△ABC的面积那么DBCADCSS∴CEBDCEAD2121∴ADBD…………………………………………………………………4分∵BCAC∴BCBDACAD∴小华不会成功．………………………………………………………………5分（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．……………………6分②若直线不过顶点，可分以下三种情况：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G易求，BG=4，AG=CG=3[@t&e~p.com*]设CF=x，则CE=8-x由△CEH∽△CBG，可得EH=)8(54x根据面积相等，可得6)8(5421xx……………………………7分∴3x（舍去，即为①）或5x∴CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．……………………………8分（b）直线与AB、AC分别交于M、N,如图所示由(a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．（仿照上面给分）(c)直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X由面积法可得，AY=524设BP=x，则BQ=8-x由相似，可得PX=x2524根据面积相等，可得6)8(252421xx………………………………………11分EABCDHGEFBACNMCABYXBACPQ∴52148x（舍去）或2148x而当BP2148时，BQ=52148，舍去．∴此种情况不存在．……………………………………………12分综上所述，符合条件的直线共有三条．（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）2、（2012山东省德州三模）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（BCAB，且ACBC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线．．即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．答案：解：(1)作线段AC的中垂线BD即可.………………………………………………2分(2)小华不会成功．若直线CD平分△ABC的面积那么DBCADCSS∴CEBDCEAD2121∴ADBD…………………………………………………………………4分∵BCAC∴BCBDACAD∴小华不会成功．………………………………………………………………5分（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．……………………6分ABCABC图1图2EABCDHGEFBAC②若直线不过顶点，可分以下三种情况：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G易求，BG=4，AG=CG=3设CF=x，则CE=8-x由△CEH∽△CBG，可得EH=)8(54x根据面积相等，可得6)8(5421xx……………………………7分[中@~国&教育出#*版网]∴3x（舍去，即为①）或5x∴CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．……………………………8分（b）直线与AB、AC分别交于M、N,如图所示由(a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．（仿照上面给分）(c)直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X由面积法可得，AY=524设BP=x，则BQ=8-x由相似，可得PX=x2524根据面积相等，可得6)8(252421xx………………………………………11分∴52148x（舍去）或2148x而当BP2148时，BQ=52148，舍去．∴此种情况不存在．……………………………………………12分综上所述，符合条件的直线共有三条．（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）3、（2012兴仁中学一模）（12分）某公司计划将研发的两种新产品A和B进行精加工后再投放市场．根据资质考查，决定由甲、乙两个工厂分别加工A、B两种产品，两厂同时开工，已知甲、乙两厂每天能生产的A、B两种产品共21件，甲厂3天生产的A种产品与乙厂4天生产的B种产品数量相同．（1）求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？（2）如果A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．信义超市需一次性购买A、B两种产品共100件，若信义超市按出厂价购买A、B两种产品的费用超过19000元而不到19080元．请你通过计算，帮助信义超市设计购买方案．[w%ww.#zz@s~te^p.com]解答：解：（1）设甲、乙两个工厂每天分别能加工x和y件新产品，则错误!未找到引用源。，解得：错误!未找到引用源。．NMCABYXBACPQ答：甲、乙两个工厂每天分别能加工12和9件新产品．（2）设信义超市购买B种产品m件，购买A种产品（100﹣m）件．根据题意，得19000＜200（100﹣m）+180m＜19080，46＜m＜50．[ww&~w@.zzstep.#c^om]∵m为整数，∴m为47或48或49．∴有三种购买方案：购买A种产品53件，B种产品47件；购买A种产品52件，B种产品48件；购买A种产品51件，B种产品49件．[w^ww.z&zste@p%.com*]（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担。若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元。请你通过计算求出有几种改造方案？[w*^ww.zzst&e~p.c#om]（1）解：设改造一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元由题意得22302205xyxy…………………………4分解得6085xy……………………………………………2分答：改造一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为60万元和85万元。（2）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校（6-x）所，由题意得：5070(6)4001015(6)70xxxx…………………………4分解得14x∵x取整数∴x=1,2,3,4.[中~国@%*教^育出版网]即共有四种方案……………………………………………2分5．（2012年江苏沭阳银河学校质检题）如图，在直径为AB的一块半圆形土地上，画出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其它两边长分别为6cm和8cm，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图所示的设计方案是使AC=8cm，BC=6cm。[w~ww.zz#s^tep%@.com]（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85m处有一棵大树，则这棵大树是否位于最大矩形的边上？如果在，为了保护大树，请你设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中建最大矩形水池能避开大树。第1题图答案：（1）h=524（2）当x=512时，水池DEFN的面积最大为12（3）设计方案改为AC=6cm，BC=8cm6.（2012年宿迁模拟）某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．[中国#教%@育*出版网&](1)求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元；[@m~](2)据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为540元，该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？答案：400,300三种方案.[中国^教%&@育*出版网]7（2012年江苏通州兴仁中学一模）某公司计划将研发的两种新产品A和B进行精加工后再投放市场．根据资质考查，决定由甲、乙两个工厂分别加工A、B两种产品，两厂同时开工，已知甲、乙两厂每天能生产的A、B两种产品共21件，甲厂3天生产的A种产品与乙厂4天生产的B种产品数量相同．（1）求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？（2）如果A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．信义超市需一次性购买A、B两种产品共100件，若信义超市按出厂价购买A、B两种产品的费用超过19000元而不到19080元．请你通过计算，帮助信义超市设计