5.3异方差的检验

§5.3异方差性的检验方法一、残差图法二、斯皮尔曼(Spearman)等级相关检验法三、戈特菲尔德—奎恩特(Goldfeld-Quandt)检验法四、帕克检验法帕克(R.E.Park)检验法的基本想法是把残差图法加以形式化，给出关于xi的具体函数结构形式，然后检验这种结构是否显著。从而判定是否具有异方差性及其异方差的函数结构。具体做法如下：第一步，建立被解释变量y对所有解释变量x的回归方程，2ui然后计算残差(i=1,2,…，n)。第二步，取异方差结构的函数形式为22iivuixe(5.3.8)其中，β是两个未知参数，vi是随机变量。2(5.3.8)可以改写成对数形式22lnlnlniuiixv(5.3.9)第三步，建立方差结构回归模型：由于未知，帕克建议用残差平方来代替。于是(5.3.9)写成形式：2ui2i2ui2i22lnlnlniiixv(5.3.10)记,，，则(5.3.10)改写成2lniiw2lnxziilniiiwzv(5.3.11)(5.3.11)构成一个回归模型，对模型(5.3.11)应用OLS法，得出α和β的估计值。第四步，对β进行t检验。如果β不显著，则表明β的真值为0，此时实际上与xi无关，即没有异方差性。否则，表明有异方差性存在。2ui帕克检验法的优点是不但能确定有无异方差性，而且一旦确定有异方差性时，还能给出异方差性的具体函数结构。它的缺点是(5.3.9)中的随机项vi仍可能有异方差性，因而使帕克方法的使用效果受到影响。例5.3.3用帕克(Park)检验法，检验例5.3.1中的数据有无异方差性?如果有异方差性，请进一步确定异方差的结构。解：利用表5.3.1的数据(课本113页），用OLS法作y对x的回归，计算残差对(5.3.10)进行估计得：9730.09368.07350.1ˆ2)0433.0()8944.0(Rxyii2i533748.0ln056229.3157326.9ln2)792239.0()257683.2(2Rxii由上式看出，在0.05显著水平下，α和β都显著，即α和β皆显著异于零，所以，原始数据中存在异方差性。由于=-9.157326，所以=0.000105444即异方差结构为：2ˆln2ˆxiui056229.32000105444.0ˆ以上计算可利用EViews软件计算1.建立回归方程:xyiˆˆˆ102.定义变量:2lni定义变量:lnx3.建立回归方程，两个参数都显著，异方差明显存在xiiln056229.3157326.9ln2000105444.0ˆ,157326.9ˆln22即异方差结构为：xiui056229.32000105444.0ˆ小结：SMPL115LSycxGENRLNE=LOG(RESID^2)GENRLNX=LOG(X)LSLNECLNX五、布罗特-帕甘检验(Breusch-Pagantestforheteroskeda-sticity,BPtest)基本思想：模型uyxxxkk22110（5.3.12）如果随机项u没有异方差，表明u与无关，如果随机项u存在有异方差，表明u与相关，一个简单的表示方法，假定是一个线性函数xxxk,,,21xxxk,,,21vxxxukk221102ˆ（5.3.13）式中v应满足基本假定。显然，在同方差的假设下应有0:210kH我们就可利用F或LM检验，来检验是否成立。H0BP检验的步骤：1.对（5.3.12）应用OLS法，得到u的估值。2.对（5.3.13）应用OLS法。3.假设，备择假设H1:H0不成立。uiˆ0:210kH（RSS，ESS，均为模型（5.3.13）的回归平方和，残差平方和与拟合优度,k自变量的个数）Ru2ˆ5.当H0成立时，6.若，则否定H0即存在异方差。)1,(~knkFF)1,(knkFF4.对于（5.3.13）构造统计量)1/()1(/)1/(/2ˆ2ˆknkknESSkRSSFRRuuLM检验1.假设备择假设H1：H0不成立2.构造统计量LM=3.H0成立时，或写成4.若，则否定H0即存在异方差。0:210kHRun2ˆ2~kLM)(~2kLM)(2kLM注：拉格朗日乘数统计量[Lagrangemultiplier(LM)statistic]例5.3.4用BP检验法，检验例5.3.1中的数据（课本113页）有无异方差性?F检验在EViews中，很方便可以完成：第一步：建立回归方程Lsycx，得到残差。第二步：命令e=genrresid^2即第三步：建立回归方程Lsecx，可直接得到F值，如图(5.3.6))(ˆ2uie图(5.3.6)计算结果可直接看出：F=10.20867，异方差显著。也可以计算07.9)13,1(01.0FRunLM2ˆ=15*0.439846=6.59796查表，LM=6.59796异方差显著。84.3)1(205.0)1(48.3205.0六、White检验法White检验法不需要关于随机项的任何先验知识，但要求在大样本的情况下进行。White检验法把随机项的方差作为因变量，原先的自变量和自变量的平方作为新自变量建立回归模型（也可以加上任意两个自变量的交叉项xi,xj），通过这个模型的拟合情况来检验是否存在异方差性。检验的零假设是残差不存在异方差性。例如：设原模型为：uxxyiiii22110（5.3.15）设检验回归模型为：uxxxxxxiiiiiiiui215224213221102（5.3.16）White检验的检验统计量是(5.3.17)其中n是样本容量，R2是检验回归式（5.3.16）的拟合优度，White证明了零假设（不存在异方差，即H0:α1=α2=α3=α4=α5=0)成立的条件下，w近似服从自由度为k（模型5.3.16中除常数项以外的回归参数的个数）的分布。Rnw2)(2kWhite检验的具体步骤为（以模型5.3.15为例）：1.用OLS估计模型（5.3.15)的参数；2.计算模型（5.3.15)的残差序列，并计算；3.用代替模型（5.3.16）中的，再用OLS估计模型（5.3.16），计算R2；ˆ,ˆ,ˆ210i2i2i2ui4.计算统计量nR2。在假设H0:不存在异方差（也就是模型5.3.16中的所有斜率都为零）条件下，nR2服从自由度为k=5的分布；5.对给定的显著水平α，查分布表，得临界值，若，则否定，表明原模型的随机项中存在异方差。2)5(2)5(22RnH0例5.3.5我们以例5.3.1中给出的数据表5.3.1为例，检验随机项的异方差性。首先建立方程LSycx，在此方程的窗口点击View\ResidualTest\WhiteHeteroskedasticity,便可直接给出结果如图5.3.7所示。Obs*R-squared统计量是White检验的检验统计量nR2，通过相伴概率可以判别是否拒绝无异方差的零假设。这里Obs*R-squared=6.600050，对于0.05的显著水平=5.99应该否定零假设，随机项中存在异方差。)2(205.0