4.2.三角形的相关性质(中考复习)

14.2三角形的相关性质知识点梳理与考点对接练习【知识点梳理】考点1三角形的定义及其分类定义:由不在同一直线上的三条线段首尾连结而成的图形叫三角形.分类：按边可分为等腰三角形和不等边三角形，按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。【注意：等边三角形属于特殊的等腰三角形，锐角三角形和钝角三角形有时称为斜三角形】考点2三角形的边和角三角形的性质：1、三角形的内角和是180°，三角形的任意一个外角等于和它不相邻两个内角的和，三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，三角形的外角和是360°；2、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；3、三角形具有稳定性。【注意：1、在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角；2、三角形三边关系定理是确定三条线段是否构成三角形和判断线段间不等关系的主要依据】考点3三角形的高、中线和角平分线1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形内部且交于一点，这些是三角形的内心它到三角形三边得距离相等；2、中线：三角形的三条中线都在三角形部，且交于一点，它是三角形的重心3、高线：不同三角形的三条高线位置不同，锐角三角形三条高都在三角形内部，直角三角形有一条高线在内部，另两条与两直角边重合，钝角三角形有一条高线在三角形部，两条在三角形外部。考点4三角形的中位线中位线：连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。定理：三角形的中位线第三边且等于第三边的··················【考点对接练习】1（2012云南5,3分）5．如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（A）A．40°B．45°C．50°D．55°2(2007云南4)已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（B）A．9B．12C．15D．12或153(2006云南8)如图，在钝角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA＝DE，那么下列结论错误的是（C）A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠3=∠CD.∠B=∠C4(2009云南7)如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长（A）A．13B．14C．15D．165（2010昆明，6）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=80°，∠ACB=60°，ADEBC2(3)(2)(1)C3B3A3A2C1B1A1CBAC2B2B2C2ABCA1B1C1A2C1B1A1CBA…图4那么∠BDC=（D）A．80°B．90°C．100°D．110°6（2010楚雄，6）已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（C）A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不对7（2010文山，4）下列事件中是必然事件的是（C）A．一个直角三角形的两个锐角分别是40°和60°Ｂ．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上Ｃ．当x是实数时，20x≥Ｄ．长为5cm、5cm、11cm的三条线段能围成一个三角形8（2010昆明，11）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是cm．9（2010普洱，10,）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若DE＝6，则BC＝．【答案】1210（2010曲靖，13）在RtABC△中，90C，若10BCAD，平分BAC交BC于点D，且32BDCD∶∶，则点D到线段AB的距离为_______.【答案】411（2011昆明，11）如图，点D是△ABC的边BC延长线上的一点，∠A=70°，∠ACD=105°，则∠B=．答案：35°．12(2007云南13)在ABC中，:2:1AB，60C，则A________答案：80°13（2011曲靖，13）已知△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,AB=3，BC=6，AD:DB=2:1，则四边形DBFE的周长为_______；答案：1014（2011曲靖，16）如图，等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E,使CE=CD，连接DE，则DE的长是_____cm。答案：3315（2010红河，15,3分）如图4，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个.16（2010曲靖，16）把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n次挖去后剩下的三角形有____个.【答案】3nDABC第4题图第二次第一次第三次第四次…ABDFCE12题图09年第10题图ADEBC第8题图DCBA3典例精析典例1（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A．360°B．250°C．180°D．140°【思路分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．【答案】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故选B．【方法总结】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．典例2（2012•泸州）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）A．13B．11C．11或13D．12或15【思路分析】首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．【答案】解：由方程x2-6x+8=0，得：解得x1=2或x2=4，当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．故选A．【方法归纳】考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．典例3[2012·乐山]如图19－2，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An.设∠A＝θ.则(1)∠A1＝________；(2)∠An＝________．【思路分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝21∠ABC，∠A1CD＝21∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，整理即可得解；【答案】⑴2,⑵n2【方法归纳】【易错易混点辨析】易错易混点1考虑问题不周例1在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小。【易错分析】由于题目没有给出图形，学生常忽略分类讨论。【答案】解：（１）、如图一：当等腰ΔABC为锐角三角形时，有∠AED＝40°，则∠A＝50°，∠B＝65°。（2）、如图二：当等腰ΔABC为钝角三角形时，此时∠AED＝40°，则∠BAC＝130°，∠B＝25°。综上所述：底角∠B的大小为65°或25°。AAADDDBBBCCCEEE图图图二二二AAACCCBBBDDDEEE图图图一一一4易错易混点2直角三角形的判定例2下列三角形中是直角三角形的个数有（）①三边长分别为3:1:2的三角形②三边长之比为1:2:3的三角形③三个内角的度数之比为3:4:5的三角形④一边上的中线等于该边一半的三角形A、1个B、2个C、3个D、4个【易错分析】由于审题不清，受到思维定势的作用，见到1:2:3，就想到30°，60°，,90°，见到3,4,5就想到勾股定理的逆定理，从而把题做错。【答案】①④是直角三角形，②③不是直角三角形2013年全国真题精编