57探索直角三角形全等的条件(含答案)

卷：基础题一、选择题1．如图1，AC=BD，∠C=∠D=90°，则Rt△ABC≌Rt△BAD所根据的条件是（）A．SASB．ASAC．AASD．HL图1图2图3图42．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等;B．斜边相等的两个直角三角形全等C．一边长相等的两个等腰直角三角形全等;D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等3．如图2所示，AB=AC，AD=AE，AF⊥BC于F，则图中全等的三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对4．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=A′B′，那么下列结论中正确的是（）A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．AC=A′C′D．∠B=∠B′5．如图3所示，D是∠ABC内一点，且点D到AB，BC的距离相等，即DE=DF，则△BDE≌△BDF的理由是（）A．HLB．AASC．ASAD．SSS二、填空题6．如图4所示，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，要使△ABC≌△DCB，还需添加一个条件是_______．7．如图5所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中有______对全等的三角形．．如图6所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，线段EF=AB，E，F两点分别在AC和AC的垂线AD上移动，则AE=______时，△ABC和△AEF全等．9．如图7，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，AB=AD，若BC=4cm，则AE=_____．10．如图8所示，在△ABC中，∠C=90°，D点是线段AB的中点，DE⊥AB交BC于点E，如果AC=3cm，BC=4cm，那么△ACE的周长是_______．三、解答题11．如图9，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE=BF，试说明AE=CF．B卷：提高题一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90°，AD=BC，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，试说明CE=DF．．（巧解妙解题）如图所示，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD于F，试说明CF=DF．3．（一题多变题）如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE都是△ABC的高，试说明BD=CE．（1）一变：如图，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，试问BD和CE相等吗？试说明理由．（2）二变：如图，BD=CE，BD⊥CD于D，BE⊥CE于E，试说明BE=CD．二、知识交叉题4．（科内交叉题）如图所示，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，点E是线段BC的中点，AC⊥DE于F，且AC=DE，若AB=5cm，求CD的长．三、实际应用题5．如图所示，A，B表示在河流MN同一旁的两个村庄，已知A，B到MN的距离AM=6km，BN=8km，且点M，N之间的距离为14km，现在要在河边建一个水泵站C，使A，B两村庄到C站的距离相等，问C站应建在距点M多远处，为什么？四、经典中考题6．（2007，芜湖，3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1B．2C．3D．4．（2008，南宁，10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；（2）选择一对你认为全等的三角形说明理由．五、探究学习篇1．（阅读理解题）如图所示，D是BC的中点，AD⊥BC，E是BC上除B，D，C外任意一点，根据“SAS”，可说明△ADB≌△ADC，所以AB=AC，∠B=∠C，在△ABE和△ACE中，AB=AC，AE=AE，∠B=∠C，但不能说明：△ABE≌△ACE，因为这是“SSA”的情形．△ABE是钝角三角形，△ACE是锐角三角形，它们不可能全等；如果两个三角形都是直角三角形，“SSA”就变成“HL”，就可以用来说明两个三角形全等，同样，如果我们知道两个三角形都是钝角三角形或锐角三角形，并且它们满足“SSA”的情形，也是一定能全等的，但必须通过构造直角三角形来间接说明．问题：已知如图，AD=AC，∠ADB=∠ACB90°．试说明：∠ABC=∠ABD．．（条件开放题）已知：如图所示，∠A=∠D=90°，且BE=CF．（1）请你只加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是_________．（2）添加条件后，说明△ABC≌△DEF．参考答案A卷一、1．D点拨：结合图形知AC，BD是两直角三角形的对应直角边，AB是公共斜边，所以根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△BAD，故选D．2．D点拨：由一边一角不能确定两个三角形全等，所以A，B选项错误；在两个等腰直角三角形中，对应角是相等的，只要有一条边对应相等就能确定它们全等，在选项C中没有说明边长相等的两边是对应边，而选项D中斜边相等显然是对应边相等，故选D．3．D点拨：△ABD≌△ACE，△ABF≌△ACF，△ABF≌△ACD，△ADF≌△AEF．4．C点拨：根据已知条件画出草图如图所示，由∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=A′B′，可得Rt△ABC≌Rt△B′A′C′（AAS），所以∠B=∠A′，AC=B′C′，BC=A′C′，故选C．5．A点拨：在Rt△BDE和Rt△BDF中，DE=DF，BD=BD，所以Rt△BDE≌Rt△BDF（HL）．二、6．AC=DB点拨：本题是开放性题目，答案不惟一，由已知可知∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB．从HL考虑可添加AC=DB；从SAS考虑可添加AB=DC；从ASA考虑可添加∠ACB=∠DBC；从AAS考虑可添加∠A=∠D．7．7点拨：△AEO≌△ADO，△ABO≌△ACO，△ABF≌△ACF，△BEO≌△CDO，△BOF≌△COF，△ABD≌△ACE，△BCE≌△CBD．8．4cm或8cm点拨：由AC⊥AD知∠CAD=90°，又∠ACB=90°，EF=AB，所以只需AE=CB或AE=CA，即AE=4cm或AE=8cm，就能判定△ABC和△AEF全等．9．4cm点拨：由AC⊥BC，DE⊥AC知∠C=∠AED=90°，又AD⊥AB，所以∠BAD=90°，即∠BAC+∠DAE=90°，在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°，所以∠B=∠DAE，又因为AB=AD，所以△ABC≌△DAE（AAS），所以BC=AE，因为BC=4cm，所以AE=4cm．10．7cm点拨：因为D点是线段AB的中点，所以AD=BD，又因为DE⊥AB，所以∠ADE=∠BDE=90°，又DE=DE，所以△ADE≌△BDE（SAS），所以AE=BE．在△ACE中，AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=3+4=7（cm），即△ACE的周长为7cm．三、11．解：因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠DEC=∠AFB=90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，BF=DE，AB=CD，所以Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），所以AF=CE，所以AF-EF=CE-EF，即AE=CF．点拨：先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，再利用全等三角形的性质得以AF=CE，最后利用等式的性质得出AE=CF．B卷一、1．解法一：在Rt△ABC和Rt△BAD中，BC=AD，AB=BA，所以Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），所以∠CBE=∠DAF．因为CE⊥AB，DF⊥AB，所以∠CEB=∠DFA=90°．在△BCE和△ADF中，∠CEB=∠DFA=90°，∠CBE=∠DAF，BC=AD，所以△BCE≌△ADF（AAS），所以CE=DF．解法二：在Rt△ABC和Rt△BAD中，BC=AD，AB=BA，所以Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），所以AC=BD，∠CAE=∠DBF．因为CE⊥AB，DF⊥AB，所以∠AEC=∠BFD=90°．在△ACE和△BDF中，∠CAE=∠DBF，∠AEC=∠BFD=90°，AC=BD，所以△ACE≌△BDF（AAS），所以CE=DF．点拨：本题是通过两次判定直角三角形全等得出结论，其中第一次利用“HL”，第二次利用“AAS”，应注意的是，在判定直角三角形全等时，根据已知条件选取方法要适当．2．解：连接AC，AD．如图所示．在△ABC和△AED中，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，所以△ABC≌△AED（SAS），所以AC=AD．因为AF⊥CD，所以∠AFC=∠AFD=90°，在Rt△AFC和Rt△AFD中，AC=AD，AF=AF，所以Rt△AFC≌Rt△AFD（HL），所以CF=DF．点拨：本题通过构造三角形巧妙地把CF，DF置于两个三角形中，再次利用三角形全等获得结论，作辅助线构造全等三角形是几何问题中常用的方法之一．3．解：因为BD，CE都是△ABC的高，所以∠ADB=∠AEC=90°，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠A=∠A，AB=AC，所以△ABD≌△ACE（AAS），所以BD=CE．（1）相等．理由：因为BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠ADB=∠AEC=90°．在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE（对顶角相等），AB=AC，所以△ABD≌△ACE（AAS），所以BD=CE．点拨：等腰三角形的顶角∠A由锐角变成钝角，两腰上的高仍然相等．（2）如图所示．连接BC，因为BD⊥CD，BE⊥CE，所以∠BDC=∠BEC=90°，在Rt△BCE和Rt△CBD中，BD=CE，BC=CB，所以Rt△BCE≌Rt△CBD（HL），所以BE=CD．点拨：连接BC，构造两个全等三角形是解题的关键．二、4．解：因为AB⊥BC，CD⊥BC，所以∠ABC=∠ECD=90°，所以∠BCA+∠DCF=90°，又因为AC⊥DE，所以∠CFD=90°，在Rt△CDF中，有∠CDE+∠DCF=90°，所以∠BCA=∠CDE．在△ECD和△ABC中，∠ECD=∠ABC=90°，∠CDE=∠BCA，ED=AC，所以△ECD≌△ABC（AAS），所以EC=AB，CD=BC，又点E是线段BC的中点，所以BC=2EC，所以CD=BC=2EC=2AB=2×5=10（cm）．点拨：本题综合考查了垂直，线段的中点及全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的对应边相等，将所求线段与已知线段建立了关系，进而求解．三、5．解：C站应建在距M点8km远处．理由如下：因为CN=MN-MC=14-8=6（km），所以AM=CN=6km，MC=NB=8km．在△AMC和△CNB中，AM=CN，∠AMC=∠CNB=90°，MC=NB，所以△AMC≌△CNB（SAS），所以AC=CB．即C站应建在距点M8km远处．点拨：解决本题的关键是要看到所给数量关系的特殊性．四、6．A点拨：由∠1=∠2，∠2+∠ECB=90°，∠B+∠ECB=90°，知∠B=∠2=∠1，在Rt△CEB和Rt△AEH中，因为1,,90,BBEHECEBAEH，所以△CEB≌△AEH，所以CE=AE=4，所以CH=CE-EH=1．7．解：（1）△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD．（2）因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以△BDE和△CDF是直角三角形．因为D是BC的中点，所以BD=CD，所以在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，BE=CF，所以Rt△BDE≌Rt△CDF．