58古典概型学案

衡水市第二中学高三数学学案用心听课，珍惜课堂，用点滴积累自己的能力使用时间：年月日1【学习目标】1．掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数．2．复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．【知识要点】基础梳理1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．对古典概型的理解：(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．(2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．3．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝＝mn.两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．双基自测1．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ.则θ∈0，π2的概率是()．A.512B.12C.712D.562．(2014·合肥模拟)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()．A.15B.25C.35D.453．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A.110B.18C.16D.154．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．考点一简单古典概型的概率【例1】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．命制：王占虹校对：田晓伏审核：孙玲玲学案58古典概型学案衡水市第二中学高三数学学案用心听课，珍惜课堂，用点滴积累自己的能力使用时间：年月日2考点二复杂的古典概型的概率【例2】(理)(2014·浙江金华十校期末)袋中装有大小相同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从中依次不放回地任取出3个，求：(1)取出3球恰好2红1白的概率；(2)取出3球依次为红、白、红的概率；(3)第三次取到红球的概率．训练1.设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．训练2.(理)已知一组抛物线y＝12ax2＋bx＋1，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是()A.112B.760C.625D.516训练3.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm＋2的概率．考点三古典概型与统计的综合问题【例3】(2013·江西卷，文)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．训练4．(2013·河北唐山一中第二次月考)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；(3)若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．衡水市第二中学高三数学学案用心听课，珍惜课堂，用点滴积累自己的能力使用时间：年月日3古典概型学案答案双基自测1.解析∵cosθ＝m－nm2＋n2·2，θ∈0，π2，∴m≥n满足条件，m＝n的概率为636＝16.mn的概率为12×56＝512.∴θ∈0，π2的概率为16＋512＝712.答案C2.解析第一步先排语文书有A22＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A55＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25.答案B3.解析：设正六边形为ABCDEF，从6个顶点中随机选择4个顶点，可以看作随机选取2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有AD，BE，CF，共3种，故其概率为315＝15.4.解析法一6节课的全排列为A66种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(A33C23A22A22＋2A33A33)种，由古典概型概率公式得P(A)＝A33C23A22A22＋2A33A33A66＝15.法二6节课的全排列为A66种，先排三节艺术课有A33种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A34种不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝A33A34A66＝15.答案15【例1】解(1)从5张卡片中任取两张，共有n＝C25＝10种方法．记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A，则A包含基本事件m＝C12C12－1＝3个．由古典概型概率公式，P(A)＝mn＝310.(2)从6张卡片中任取两张，共有n＝C26＝15个基本事件，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B，则事件B包含基本事件总数m＝C11(C12＋C13)＋(C12C12－1)＝8，∴所求事件的概率P(B)＝mn＝815.【例2】[解](1)取出3球所有可能结果有C310个，其中2红1白的可能结果是C26C14个，所以取出3球恰好2红1白的概率P1＝C26C14C310＝12.(2)有顺序取出3球的所有可能结果有A310个，其中依次为红、白、红的可能结果有6×4×5个，所以取出三球依次为红、白、红的概率P2＝6×4×5A310＝16.(3)有顺序取出3球，所有可能结果有A310个，其中第三次为红球的可能结果有A16·A29个，所以第三次取到红球的概率P3＝A16A29A310＝610＝35.训练1.[解](1)有序数组(m，n)的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1,2,3,4}，故满足n＝(m－1)2的(m，n)有(2,1)和(3,4)，但m＝2，n＝1时，am＝(2,1)，bn＝(2,1)，此时am－bn＝0，所以事件A包含的基本事件为(3,4)，只有1个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝116.训练2.解析：这一组抛物线共4×4＝16(条)，从中任意抽取两条，共有C216＝120(种)不同的方法．它们在与直线x＝1交点处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝a＋b.若a＋b＝5，有两种情形，从中取出两条，有C22种取法：若a＋b＝7，有三种情形，从中取出两条，有C23种取法；若a＋b＝9，有四种情形，从中取出两条，有C24种取法；若a＋b＝11，有三种情形，从中取出两条，有C23种取法；若a＋b＝13，有两种情形，从中取出两条，有C22种取法．由分类加法计数原理知任取两条抛物线且满足题目要求的情形共有C22＋C23＋C24＋C23＋C22＝14(种)，故所求概率为760.故选B.训练3：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：衡水市第二中学高三数学学案用心听课，珍惜课堂，用点滴积累自己的能力使用时间：年月日4(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316.故满足条件nm＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.【例3】(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有OA2→·OA5→，共1种，数量积为－1的有OA1→·OA5→，OA1→·OA6→，OA2→·OA4→，OA2→·OA6→，OA3→·OA4→，OA3→·OA5→，共6种．数量积为0的有OA1→·OA3→，OA1→·OA4→，OA3→·OA6→，OA4→·OA6→，共4种情形．数量积为1的有OA1→·OA2→，OA2→·OA3→，OA4→·OA5→，OA5→·OA6→，共4种情形．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为p1＝715；因为去唱歌的概率为p2＝415，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－415＝1115.训练4．(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为70.14＝50(人)．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等，前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．(3)设成绩优秀的9人分别为a，b，c，d，e，f，g，h，k，则选出的2人所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，ak，bc，bd，be，bf，bg，bh，bk，cd，ce，cf，cg，ch，ck，de，df，dg，dh