9曲线积分与曲面积分

1第九章曲线积分与曲面积分curvillnearintegralandsurfaceintegral2问题的提出对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算小结思考题作业arclength第一节对弧长的曲线积分第十章曲线积分与曲面积分3一、问题的提出实例sM匀质之质量分割121,,,nMMM,),(iiis取iiiisM),(求和niiiisM1),(取极限M取近似曲线形构件的质量近似值精确值对弧长的曲线积分niiiis1),(0limOxy2M1nMABLis1iM),(ii1MiM4二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内一条光滑曲线弧,,is为又),(ii,),(iiisf,),(1niiiisf在L上有界.),(yxf函数作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值,0时对弧长的曲线积分在L上任意插入一点列121,,,nMMM把L分成n个小段.设第i个小段的第i个小段上任意取定的①②③长度为一点,④Oxy2M1nMABLis1iM),(ii1MiM5曲线形构件的质量LsyxMd),(,d),(Lsyxf即Lsyxfd),(这和的极限存在,则称此极限为),(yxf函数在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.积分和式被积函数弧元素积分弧段记作niiiisf1),(niiiisf1),(对弧长的曲线积分0lim62.存在条件上在光滑曲线弧当Lyxf),(3.推广上在空间曲线弧函数),,(zyxfszyxfd),,(.d),(存在Lsyxf对弧长的曲线积分连续,对弧长的曲线积分为iniiiisf10),,(lim对弧长的曲线积分7注意,)()1(是分段光滑的或若L21d),(LLsyxf在函数),()2(yxfLsyxfd),()(21LLL1d),(Lsyxf2d),(Lsyxf闭曲线L上对弧长的曲线积分记作(对路径具有可加性)对弧长的曲线积分84.性质Lsyxgyxfd)],(),([LLsyxfsyxkfd),(d),((1)LLsyxgsyxfd),(d),((2))(为常数kk(3)与积分路径的方向无关,即Lsyxfd),(Lsyxfd),()(AB⌒)(BA⌒对弧长的曲线积分9在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的奇函数Lsyxfd),(是L上关于x的偶函数,d),(21LsyxfL1是曲线L落在y轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的L关于y轴对称,补充对称性质曲线L上连续,),(yxf设函数则,0当),(yxf(或y)(或y)当),(yxf(或x轴)(或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,应同时考虑被积函数与积分曲线L的对称性.),(yxf对弧长的曲线积分10例Lsyx.d)(3其中L是圆周.222Ryx解LLsysxdd3Lsyxd)(3,dLsx对因积分曲线L关于被积函数x是L上0dLsxLsy,d3对被积函数0d3Lsy因积分曲线L关于3y222Ryx对称性,计算得0是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数对弧长的曲线积分xyO11三、对弧长曲线积分的计算定理),()()(ttytxL的参数方程为上在曲线弧设Lyxf),(上在],[)(),(tt其中且][f),(t)(t)(有定义且连续,具有一阶连续导数,Lsyxfd),(解法化为参变量的定积分计算对弧长的曲线积分注意对弧长的曲线积分要求0ds定积分的下限一定要小于上限22()()dttt12特殊情形bxaxyL),(:Lsyxfd),()(baxxsd)(1d2baxf],[(1)xxd)(12)(x对弧长的曲线积分),()()(ttytxL的参数方程为][f),(t)(t)(Lsyxfd),(dycyxL),(:Lsyxfd),()(dc(2)dcyyf]),([yysd)(1d2yyd)(1222()()dttt13Lsyxfd),(d)()(]sin)(,cos)([22f),(:L(3)对弧长的曲线积分),()()(ttytxL的参数方程为][f),(t)(t)(Lsyxfd),(特殊情形)()(),(),(:ttztytx推广szyxfd),,(tttttttfd)()()()](),(),([222)(22()()dttt14),(),(yxgzyxfz0),,(0),,(21zyxzyx或此时需把它化为参数方程中某一个选择zyx,,(再按上述方法计算.对弧长的曲线积分为参数),L如果积分路径是两个曲面的交线15例解例)20(.,sin,cos:,d的一段其中求kzayaxsxyzI解kaI202sincos22221kaka.)2,2(2,d2的一段上自原点到为其中求xyLsyIL20yI)155(31xy22)20(y22yxd22kayyd12对x积分?)2,2(对弧长的曲线积分xy22xyO16例).0(222xRyxABCL解xysd1d2xyyxd222xyRd||Lsyd||xyRyRd||||0xyRyRd||||022R的如图半圆周由曲线)(ABCL⌒ABsyd||⌒BCsyd||⌒对弧长的曲线积分得xyO||d,,LysL计算其中是右半圆周即222,xyR方程17即是右半圆周其中计算,,d||LsyL).0(222xRyx解此题时也可用,轴对称关于xL故Lsyd||2xyRd22Rsyd⌒AB,||的偶函数为yyRy02对弧长的曲线积分对称性质ABCLxyO18,d22Lyxse计算,:222ayxL由圆周轴及直线xxy在第一象限中所围图形的边界.ABLyxsed22⌒BOABOA提示解:OA,0yOAyxsed22xsd01d2:AB⌒,sin,cosayax40seAByxd22⌒d40aeaxeaxd01aeaae4,0ax对弧长的曲线积分xyO19AB:BO,xyseBOyxd22xsd11d2xeaxd222021aeLyxsed22故aaaee4)1(2.220ax对弧长的曲线积分xyO20,1),(时当yxf上的表示立于当Lyxf),(SsL),(yxfz几何意义Lsd(1)(2),),(处的高时柱面在点yx对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义Lsyxfd),(柱面面积弧长L211989年研究生考题,填空(3分)则为下半圆周设平面曲线,12xyL).(d)(22syxL曲线积分解设下半圆周的参数方程sin,cosyx则syxLd)(22)sin(cos22d)(cos)sin(222对弧长的曲线积分通过几何直观,还有更简单的方法吗?22例.0,,d22222zyxazyxsxI为圆周其中求解由于szsysxddd222Isad32323a),d2(球面大圆周长sa有szyxd)(22231对弧长的曲线积分的方程中的x,y,z的地位完全对称,231988年研究生考题,填空(3分)则其周长为为椭圆设,,13422ayxLLsyxxyd)432(22a12解Lsxyd20Lsyxd)43(1211222Lsyxd)34(1222sLd112a12对称性对弧长的曲线积分Lsyxxyd)432(22022(34)dLxys24轴的转动惯量轴及曲线弧对yx)2(,d2LxsyI曲线弧的质心坐标)3(,ddLLssxx的线密度时表示当Lyx),()(1LsyxMd),(物理意义LysxId2LLssyydd对弧长的曲线积分25对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的应用对弧长的曲线积分五、小结(四步:分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(曲线的质量、质心、转动惯量)26思考题是非题对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为定积分计算时,不管起点还是终点,其下限为较小端点的参数值,上限为较大端点的参数值.是对弧长的曲线积分27作业习题9-1(137页)1.(1)(3)(5)(7)2.3.对弧长的曲线积分