5离散概率初步习题答案

5.1习题解答1．指出下列事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。（1）A={没有水分，种子会发芽}；（2）B={从一副52张的扑克牌中，任意取14张，至少有两种花色}；（3）C={从一副52张的扑克牌中，随机抽出一张牌是红桃}.解：A是不可能事件，B是必然事件，C是随机事件。2．同时掷甲、乙两颗骰子时，下列事件由哪些基本事件组成：（1）{出现的点数之和为8}；（2）{出现的点数之和不超过5}；（3）{出现的点数之和大于6且小于10}.解：（1）{出现的点数之和为8}={（2，6），（3，5），（4，4），（6，2），（5，3）}（2）{出现的点数之和不超过5}={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），(2,2),(2,3),（3，1），(3,2)（4，1）}（3）{出现的点数之和大于6且小于10}={（1，6），（2，6），（3，6），（2，5），（3，5），（3，4），(4,4),（4，5），（6，1），（6，2），（6，3），（5，2），（5，3），（4，3），（5，4）}3．一批产品中有合格品和废品，从中放回的抽取三个产品，设Ai表示事件“第i次抽得废品”,试用Ai的运算表示下列各个事件：（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；（2）只有第一次抽到废品；（3）三次都抽到废品；（4）至少有一次抽到和合格品；（5）只有两次抽到废品。解:（1）12AA（或者212121AAAAAA或者21AA或者321321321321321321AAAAAAAAAAAAAAAAAA）（2）123AAA（3）123AAA（4）123AAA（或者321321321321321321321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA或者321AAA）（5）123123123AAAAAAAAA4.某知识书店一天中售出的数学类、外语类、理化类书籍各50本，设每位顾客每类书籍至多购一本，其中只购数学书的占顾客总人数的20％，只购外语书的占25％，只购理化类书的占15％，三类书全购的占10％.问：a)总共有多少顾客购书？b)同时购数学书和外语书的人数占顾客总人数的比例？解：设A、B、C表示购数学类、外语类、理化类书籍的顾客集合。则()0.1PABC，()0.2PABC，()0.25PABC，()0.15PABC。设()PABCx，()PABCy，()PABCz，顾客总数为S，则可建立方程组(0.20.1)50(0.250.1)50(0.150.1)500.3SxzSxySyzxyz，解得0.05,0.1,0.15,100xyzS求解过程如下：由（4）得到z=0.3-x-y代入前三个方程得到：S(0.6-y)=50,S(0.35+x+y)=50,S(0.55-x)=50由S=50/(0.6-y)代入后两个方程得到：x+2y=0.25,y-x=0.05解此方程组得到x=0.05,y=0.1代入S=50/(0.6-y)得到S=100代入z=0.3-x-y得到z=0.15.所以，顾客到总数为100。同时购数学和外语书的人数占顾客总人数的比例为5%。5.袋中装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求：a)取到的两个球颜色不同的概率；b)取到的两个球中有黑球的概率。解：a)2815281315CCC(或者28232528CCCC)b)28251CC=9/14(或者2813152823CCCCC)6.从n双不同的鞋子中任取2r（2rn）只，求下列事件的概率：a)没有成对的鞋子；b)只有一对鞋子；c)有r对鞋子。解：a.没有成对的鞋子的概率为212222()rrnrnCCC(没有成对的，就是先从n双中选2r双，再从每双中选一个)。b.只有一对鞋子的概率为1221221222()rrnnrnCCCCc.有r对鞋子的概率为22rnrnCC5.2习题解答1．某电子产品使用寿命为15年的概率为0.8，而使用寿命为20年的概率为0.4.问现在已使用了15年的这种产品再使用5年的概率是多少？解：设A表示某电子产品已使用15年。B表示某电子产品使用20年。P(A)=0.8,P(B)=0.4,AB=B.则所求概率为()0.4()0.5()0.8PABPBAPA。2．若M件产品中有m件废品，在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率。解：若M件产品中有m件废品,M-m件正品。（1）用A表示“两件中一件是废品”，B表示“另一件是废品”（即，两件都是废品）2112221122/)(/)()()()()|(mmMmmMmmMmMmCCCCCCCCCCAPBPAPABPABP（“两件中有一件是废品”分为量化种情况“只一件是废品”和“两件都是废品”）或者2222222/1/)()()()()|(mMMmMmMMmCCCCCCCAPBPAPABPABP（“两件中有一件是废品”的对立事件“两件都是正品”）(2)用C表示“两件中有一件不是废品”即“两件中有一件是正品”，D表示“两件中一件是正品，一件是废品”211112211211/)(/)()()()()|(mMmMmmMmMmMmMmMmMmCCCCCCCCCCCCCPDPCPCDPCDP（C包括两种情况“两件正品”和“一正一废”）或者22222222222/1//1)()()()()|(mMmMmMMmMmMMmCCCCCCCCCCCCPDPCPCDPCDP（C的对立事件是“两件废品”，D的对立事件是“两件正品或两件废品”）3．在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率。解：A：“甲机第一次向乙机开火，击落乙机”，P(A)=0.2B：“乙机第一次还击，击落甲机”3.0)|(ABPC：“甲机第二次向乙机开火，击落乙机”4.0)|(BACPD：“甲机被击落”E：“乙机被击落”(1)“甲机被击落”是，第一回合中乙机未击落的前提下才能发生的，所以24.08.03.00)()|()()|()(APADPAPADPDP(1)“乙机被击落”有两种可能，一种是第一回合被击落（事件A）,第二种是第二回合被击落（事件C）.事件C是在A和B都没有发生的前提下发生的。4.07.08.02.0)|()|()()()|()()()()()(BACPABPAPBPBACPBAPBPCPBPEP=0.4244.口袋中有10张卡片，其中两张卡片是中奖卡，三个人依次从口袋中提出一张，问中奖概率是否与摸卡的次序有关？解:设Ai表示第i个人摸到中奖卡,i=1,2,3第一个人摸到中奖卡的概率为12()10PA。由全概率公式得到：第二个人摸到中奖卡的概率为11|21|212AAPAPAAPAPAP1029016210810219121911CCCC第三个人摸到中奖卡的概率为2|322|322|323111111AAAPAAPAAAPAAPAAAPAAPAP2|3|22|3|22|3|2111111111AAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAPAAPAP1029101422108108102181219171811191218111918CCCCCCCCCCCC所以，三个人摸到中间卡的概率是相同的。所以中奖概率与摸卡次序无关。5.仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为1000支，次品率为2％；乙工厂生产的为2000支，次品率为3％；丙厂生产的为3000支，次品率为4％.如果从中随机抽取一支，发现为次品，问该次品是甲厂生产的概率为多少？解：设A表示随机抽取一支是甲厂生产的，B表示随机抽取一支是乙厂生产的，C表示随机抽取一支是丙厂生产的，D表示随机抽取的产品是次品则P(D)()()()()()()PAPDAPBPDBPCPDC12310.020.030.0466630所求概率为()300.02()0.1()6PADPADPD6.经普查，了解到人群患某种疾病的概率为0.5％.某病人因有类似病症前去求医，医生让他做某项生化检验。经临床多次试验，患有该病的患者试验阳性率为95％，而非该病患者的试验阳性率仅为10％.现该病人化验结果呈阳性，问该病人患该病的概率。解：设A表示“化验结果为阳性”，B表示“病人（被诊断者）患有此病”。则()0.005PB，()0.95PAB，()0.10PAB，()0.995PB，则()()()()()0.950.0050.100.9950.10425PAPBPABPBPAB所求概率为()()()0.0456()PBPABPBAPA7.随机地掷一颗骰子，连续6次，求(1)恰有一次出现“6点”的概率；(2)恰有两次出现“6点”的概率；(3)至少有一次出现“6点”的概率。解：此问题可以看作“6重的贝努利实验”其中事件A“出现6点”的概率为1/6。所以：（1）5166561C（2）42266561C(3)1-60066561C8.设每次试验成功的概率为)10(pp，进行重复试验，则直到第十次试验时才取得4次成功的概率。解：64396339)1()1(ppCpppC3.3习题解答1．汽车沿街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯红、绿两种信号显示的时间相等且各信号灯之间相互独立。以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数。求的概率分布。解：的取值范围为0，1，2，3则1(0)2P，111(1)224P，1111(2)2228P，1111(3)2228P(表示汽车没有遇到红灯)的分布列为0123P121418182．某人进行射击，设每次射击的命中率为02.0，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解：399400399114004000040098.0898.0198.002.098.002.01CC或者400240040098.002.0iiiiC3。15个人随机地进入10个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求)(XE（设每个人进入每个房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立）。解：引入随机变量个房间有人在第个房间没有人在第iiXi,1,0，1021i，，，易知1021XXXX。现在来求)(XE。按题意，任意一个人不进入第i个房间的概率为10/9，因此，15个人都不进入第i个房间的概率为15)019(，在第i个房间没有人的概率为15)019(，也就是15)10/9(1)1(iXP，15)10/9()0(iXP，1021i，，，。由此15)10/9(1)(iXE，1021i，，，。)()()()XXX()(10211021XEXEXEEXE94.7])109(1[1015。4．设2)()(xXExf，Rx，问当x为何值时，)(xf达到最小值。解：DXEXxEXEXEXxEXxEXxxxEXEXxxXXExXExf22222222222)()(22)2()()(所以，当x=EX时，)(xf达到最小值DX.5．一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.