5第二节微积分基本公式

第二节微积分基本公式教学内容和重点：1、掌握积分上限函数的定义及其性质2、掌握微积分基本公式（牛顿--莱布尼茨公式），会用这个公式求一些函数的定积分一．问题引入：⒈22211()22bbaaxdxbax⒉221121()()()()TTTTVtdtSTSTSt二．积分上限函数⒈定义：设()[,],[,],()xafxCabxabfxdx称为f(x)的积分上限函数，记为()()xaxfxdx⒉注意问题：①()()()xxxaaafxdxftdtfudu②()()xxaxxftdt三．积分上限函数性质⒈定理1：设''()[,],()[()]()xafxCabxftdtfx则⒉简证：()()()()xxxaaxxxftdtftdt=()()()()()xxxxxxaxaxftdtftdtftdtftdtfx(在x,x+x之间）00limlim()lim()()xxxfffxx⒊推论：设()[,],()()fxCabFxfx又是的一个原函数则()()xaftdtFxC⒋牛顿——莱布尼茨公式①．定理2：设'()[,],()(),()()()()bbaafxCabFxfxfxdxFxFbFa则②．简证：()(),0()()xaaaftdtFxCxaftdtFaC令()cFa()()()()()()xbaaftdtFxFaxbftdtFbFa令③．例如：112001arctan14dxxx11111ln0dxxx错在X=0处无穷间断点四．积分上限函数求导及应用⒈积分上限函数求导：...abc限单里清有公式限复里清按复合求导法则里混先弄清，再求导⒉例题分析：①．2sin[]01cosbadxxdxdxx②．22dsinsin[]dx1cos1cosxaxxxxdxxx③．22sinsin[]1cos1cosxadttxxdtdxtx④．2222sinsinsinsin[][]1cos1cos1cos1cosxxxaaadxtdttxxdtxdtdtdxtdxttx⑤．222()sinsinsin[][]1cos1cos1cosxxxaaadxttdxtttdtdtdtdxtdxtt⑥．()'[()](())()xadftdtfxxdx⑦．()()[()][()]axxaddftdtftdtdxdx⑧．()()()()[()][()()]xaxxxaddftdtftdtftdtdxdx在a处f连续⒊应用：例1：求21cos20limtxxedtx解：原式=2cos0(sin)1lim22xxexxe或：①.21cos20limln(1)txxedtx②.21cos0limarctantxxedtxx③.21cos20limln(1sin)txxedtx比较：A=()bafxdx()()xxaafxdxftdt()xaxftdt例2：设00cos,sinttxududydxyudu求解：''()sintan()cosdyytttdxxtt例3：设00()()(,),()0()(0,)()xxtftdtfxCfxFxftdt且则在解：'0020()()()()()[()]0xxxxfxftdttftdtfxFxftdt令00()()()()xxfxxxftdttftdt法一：00()[()()]()()0xxxxfttftdtxtftdt得证：0tx例4：求230xtItedt的极值解：①2'3()0xIxxe②可能的极值点''0,0IxI不存在，无③判别，''00,(0),0,0UIUIx（），是极小值点④I（0）=0为极小值例5：设()[,],fxCab且1()0,()()()xxabfxFxftdtdtft若则①'()2Fx②()0(,)Fxab在内有唯一实根解：①'11()()22()Fxfxffxf②ⅰ.F(x)在(a,b)上连续ⅱ.1()0,()()0()abbaFadtFbftdtft()0(,)Fxab在内至少有一个实根,零点定理又'()0,()FxFx只有一个实根ex：p2405(1.3)6（8.11）9(2)