6_随机变量的分布函数连续随机变量的概率密度2

概率论与数理统计习题解答第一章随机事件及其概率6随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x可否是连续随机变量X的分布函数？为什么？如果X的可能值充满区间：（1）（,）；（2）（0,）．解：（1）设211)(xxF，则1)(0xF因为0)(limxFx，0)(limxFx，所以)(xF不能是X的分布函数．（2）设211)(xxF，则1)(0xF且0)(limxFx，1)(lim0xFx因为)0(0)1(2)('22xxxxF，所以)(xF在（0,）上单增．综上述，故)(xF可作为X的分布函数．二、函数xxfsin)(可否是连续随机变量X的概率密度？为什么？如果X的可能值充满区间：（1）2,0；（2）,0；（3）23,0．解：（1）因为2,0πx，所以0sin)(xxf；又因为1cos)(2020xdxxf，所以当2,0πx时，函数xxfsin)(可作为某随机变量X的概率密度．（2）因为πx,0，所以0sin)(xxf；但12cos)(00xdxxf，所以当πx,0时，函数xxfsin)(不可能是某随机变量X的概率密度．（3）因为23,0πx，所以xxfsin)(不是非负函数，从而它不可能是随机变量X的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形．解：设X表示“取出的废品数”，则X的分布律为X0123p4344922092201于是，X的分布函数为3,132,22021921,222110,430,0)(xxxxxxF其图形见右：oyx概率论与数理统计习题解答第一章随机事件及其概率四、（柯西分布）设连续随机变量X的分布函数为xxBAxF,arctan)(．求：（1）系数A及B；（2）随机变量X落在区间)1,1(内的概率；(3)X的概率密度．解：(1)由0)2()(limπBAxFx，12)(limπBAxFx，解得.1,21πBA即)(,arctan121)(xxπxF．(2).21)]1arctan(121[]1arctan121[)1()1()11(FFXP(3)X的概率密度为)1(1)()(2xxFxf．五、（拉普拉斯分布）设随机变量X的概率密度为xAexfx,)(．求：（1）系数A；（2）随机变量X落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X的分布函数．解：(1)由1)(dxxf，得1220AdxeAdxAexx，解得21A，即有).(,21)(xexfx(2)).11(21)(2121)()10(101010eedxedxxfXPxx(3)随机变量X的分布函数为021102121)()(xexedxedxxfxFxxxxx．