6.2012届江苏高考数学二轮复习教学案(详解)--三角变换与解三角形

凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]第8讲三角变换与解三角形1.掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用；能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．2.在复习过程中，要熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点及常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等)；掌握化简、求值和解三角形的常规题型；要注意掌握公式之间的内在联系．3.近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加，三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给予充分的重视．新教材降低了对三角函数恒等变形的要求，但对两角和的正切考查一直是重点．1.若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于________.2.已知cosα－π6＋sinα＝453，则sinα＋7π6的值是________．3.在△ABC中，tanA＝12，tanC＝13，则角B的值为________．4.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于________．【例1】已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314且0βαπ2.(1)求tan2α的值；(2)求β.【例2】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.【例3】在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sinC2.(1)求sinC的值；凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail](2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．【例4】已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求f(x)的解析式；(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．1.(2011·全国)已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________.2.(2011·江苏)已知tanx＋π4＝2，则tanxtan2x的值为________．3.(2011·重庆)已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．4.(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinC＝________.5.(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．6.(2011·全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c；已知asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail](本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cosx23cosx2－sinx2.(1)设θ∈－π2，π2，且f(θ)＝3＋1，求θ的值；(2)在△ABC中，AB＝1，f(C)＝3＋1，且△ABC的面积为32，求sinA＋sinB的值．解：(1)f(x)＝23cos2x2－2sinx2cosx2＝3(1＋cosx)－sinx＝2cosx＋π6＋3.(3分)由2cosx＋π6＋3＝3＋1,得cosx＋π6＝12.(5分)于是x＋π6＝2kπ±π3(k∈Z)，因为x∈－π2，π2，所以x＝－π2或π6.(7分)(2)因为C∈(0，π)，由(1)知C＝π6.(9分)因为△ABC的面积为32，所以32＝12absinπ6，于是ab＝23，①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcosπ6＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7，②由①②可得a＝2，b＝3或a＝3，b＝2.于是a＋b＝2＋3.(12分)由正弦定理得，sinAa＝sinBb＝sinC1＝12，所以sinA＋sinB＝12(a＋b)＝1＋32.(14分)第8讲三角变换与解三角形1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为________．【答案】π3或2π3解析：由余弦定理得a2＋c2－b22ac＝cosB,∴tanB·cosB＝32，sinB＝32，B为π3或2π3.2.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a＋ca＋b＝b－ac，(1)求角B的大小；(2)若△ABC最大边的边长为7，且sinC＝2sinA，求最小边边长．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]解：(1)由a＋ca＋b＝b－ac整理得(a＋c)c＝(b－a)(a＋b)，即ac＋c2＝b2－a2，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12，∵0＜B＜π，∴B＝2π3.(2)∵B＝2π3，∴最长边为b，∵sinC＝2sinA，∴c＝2a，∴a为最小边，由余弦定理得(7)2＝a2＋4a2－2a·2a·－12，解得a2＝1，∴a＝1，即最小边边长为1.基础训练1.6解析：sin2αcos2α＝2tanα.2.－45解析：cosα－π6＋sinα＝453化为32cosα＋12sinα＋sinα＝435，3sinα＋π6＝435，sinα＋π6＝45.3.3π4解析：tanB＝tan(π－A－C)＝－tan(A＋C)＝－tanA＋tanC1－tanAtanC＝－1.4.2解析：由正弦定理得BCsinA＝ACsinB，1sinA＝ACsin2A，1sinA＝AC2sinAcosA，ACcosA＝2.例题选讲例1解：(1)cosα＝17，α∈0，π2，∴sinα＝437，tanα＝43，tan2α＝－8347.(2)cosβ＝cos(α－(α－β))＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝12，β∈0，π2，∴β＝π3.例2解：(解法1)在△ABC中，∵sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有a·a2＋b2－c22ab＝3×b2＋c2－a22bc·c，化简并整理得：2(a2－c2)＝b2，又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2，解得b＝4或0(舍)．(解法2)由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0.所以b＝2ccosA＋2，①又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC，由正弦定理得sinB＝bcsinC，故b＝4ccosA，②由①②，解得b＝4.变式训练在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积S＝3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解：(1)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sinBcosA＝sinAcosA，当cosA＝0时，A＝π2，△ABC为直角三角形；当cosA≠0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，△ABC为等腰三角形．所以，△ABC为直角三角形或等腰三角形．例3解：(1)由已知得2sinC2cosC2＋1－2sin2C2＝1－sinC2，即sinC22cosC2－2sinC2＋1＝0，由sinC2≠0得2cosC2－2sinC2＋1＝0，即sinC2－cosC2＝12，两边平方得：sinC＝34.(2)由sinC2－cosC2＝12＞0知sinC2＞cosC2，则π4＜C2＜π2，即π2＜C＜π，则由sinC＝34得cosC＝－74，又a2＋b2＝4(a＋b)－8，即(a－2)2＋(b－2)2＝0，故a＝b＝2，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋27，c＝7＋1.变式训练已知△ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC＋4xsinC＋6＜0的解集是空集．(1)求角C的最大值；(2)若c＝72，△ABC的面积S＝323，求当角C取最大值时a＋b的值．解：(1)∵不等式x2cosC＋4xsinC＋6＜0的解集是空集．∴cosC＞0，Δ≤0，即cosC＞0，16sin2C－24cosC≤0，得cosC＞0，cosC≤－2或cosC≥12，故cosC≥12，而cosC＝0时解集不是空集．∴角C的最大值为60°.(2)当C＝60°时，S△ABC＝12absinC＝34ab＝323，∴ab＝6，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝1214，∴a＋b＝112.例4解：(1)(解法1)注意角的变换2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α.(1)由sin(2α＋β)＝3sinβ得，sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，则sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα，于是tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.(解法2)直接展开，利用“1”的变换．sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝3sinβ，2sinαcosαcosβ＋(cos2α－sin2α)sinβ＝3sinβ，2sinαcosαsin2α＋cos2α＋cos2α－sin2αsin2α＋cos2αtanβ＝3tanβ，2tanα1＋tan2α＋1－tan2α1＋tan2αtanβ＝3tanβ，∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.(2)∵α角是一个三角形的最小内角，∴0α≤π3，0＜x≤3，f(x)＝12x＋1x，设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时取等号)，故函数f(x)的值域为0，24.高考回顾1.－55解析：由cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1＝15，又α∈π，3π2，cosα＜0，所以cosα＝－55.2.49解析：∵tanx＋π4＝1＋tanx1－tanx＝2,∴tanx＝13，∴tanxtan2x＝tanx2tanx1－tan2x＝1－tan2x2＝49.3.－142解析：s