1第五节合情推理与演绎推理时间:45分钟分值:75分一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.下列说法正确的是()A.合情推理就是归纳推理B.合理推理的结论不一定正确,有待证明C.演绎推理的结论一定正确,不需证明D.类比推理是从特殊到一般的推理解析类比推理也是合情推理,因此,A不正确.合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,有待进一步证明,故B正确.演绎推理在大前提,小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确,否则就不正确,故C的说法不正确.类比推理是由特殊到特殊的推理,故D的说法也不正确.答案B2.观察下式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,则第n个式子是()A.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2解析方法1:由已知得第n个式子左边为2n-1项的和且首项为n,以后是各项依次加1,设最后一项为m,则m-n+1=2n-1,∴m=3n-2.方法2:特值验证法.n=2时,2n-1=3,3n-1=5,都不是4,故只有3n-2=4,故选C.2答案C3.观察下图中图形的规律,在其右下角的空格内画上合格的图形为()A.B.C.D.解析表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列,规律是每一行中只有一个图形是空心的,其他两个都是填充颜色的,第三行中已经有正三角形是空心的了,因此另外一个应该是阴影矩形.答案A4.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则S1S2=14,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则V1V2=()A.18B.19C.164D.127解析正四面体的内切球与外接球的半径之比为,故V1V2=127.答案D35.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A.设数列{an}的前n项和为Sn.由an=2n-1,求出S1=12,S2=22,S3=32,…,推断:Sn=n2B.由f(x)=xcosx满足f(-x)=-f(x)对∀x∈R都成立,推断:f(x)=xcosx为奇函数C.由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,推断:椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的面积S=πabD.由(1+1)221,(2+1)222,(3+1)223,…,推断:对一切n∈N*,(n+1)22n解析选项A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前n项和等于Sn=n1+2n-12=n2,选项D中的推理属于归纳推理,但结论不正确;选项B、C不是归纳推理,因此选A.答案A6.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种,其中3×4是这三种分解中,两数差的绝对值最小的,我们称3×4为12的最佳分解.当p×q(p≤q且p,q∈N*)是正整数n的最佳分解时,我们规定函数f(n)=pq,例如f(12)=34.关于函数f(n)有下列叙述:①f(7)=17;②f(24)=38;③f(28)=47;④f(144)=916.其中所有正确叙述的序号为()A.①②B.①③C.①②④D.①③④解析利用题干中提供的新定义信息可得,对于①,∵7=1×7,4∴f(7)=17,①正确;对于②,∵24=1×24=2×12=3×8=4×6,∴f(24)=46=23,②不正确;对于③,∵28=1×28=2×14=4×7,∴f(28)=47,③正确;对于④,∵144=1×144=2×72=3×48=4×36=6×24=8×18=9×16=12×12,∴f(144)=1212=1,④不正确.答案B二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为__________.解析由前三个式子可以得出如下规律:每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和,且个数依次多1,等号的右边是一个正整数的平方,后一个正整数依次比前一个大3,4,….因此,第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.答案13+23+33+43+53+63=2128.观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有__________个小正方形.解析第1~5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形,它们分别为1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,1+2+3+4+5+6,因此an=1+2+3+…+(n+1).故a6=1+2+3+…+7=71+72=28,即第6个图中有28个小正方形.5答案289.(2014·湖南五市十校联考)已知两个正数a,b,可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c,在a,b,c三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.若pq0,经过6次操作后扩充所得的数为(q+1)m(p+1)n-1(m,n为正整数),则m+n的值为________.解析不妨设ab0,第一次扩充c1=ac+c+a=(a+1)c+(a+1)-1=(a+1)(c+1)-1,第二次扩充c2=c1c+c1+c=c1(c+1)+(c+1)-1=(c1+1)(c+1)-1=(a+1)(c+1)2-1,第三次扩充c3=c2c1+c2+c1=(c2+1)(c1+1)-1=(a+1)(c+1)2(a+1)(c+1)-1=(a+1)2(c+1)3-1,……第六次扩充c6=(a+1)8(c+1)13-1,所以m+n=8+13=21.答案21三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)10.已知函数f(x)=xx+2(x0).如下定义一列函数:f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),…,n∈N*.求由归纳推理得到的函数fn(x)的解析式.解f1(x)=f(x)=xx+2,f2(x)=f(f1(x))=f(xx+2)=xx+2xx+2+2=x3x+226=x22-1x+22,f3(x)=f(f2(x))=f[x22-1x+22]=x22-1x+22x22-1x+22+2=x23-1x+23,…,fn(x)=x2n-1x+2n(x0,x∈N*).11.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,试求:(1)a18的值;(2)该数列的前n项和Sn.解(1)由等和数列的定义,数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,易知a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,…),故a18=3.(2)当n为偶数时,Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)=2+2+…+2n2个2+3+3+…+3n2个3=52n;当n为奇数时,Sn=Sn-1+an=52(n-1)+2=52n-12.综上所述:Sn=52nn为偶数,52n-12n为奇数.12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;7③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解方法1:(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=1-14=34.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+32sinαcosα+14sin2α-32sinαcosα-12sin2α=34sin2α+34cos2α=34.方法2:(1)同解法1.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=1-cos2α2+81+cos60°-2α2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=12-12cos2α+12+12(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-32sinαcosα-12sin2α=12-12cos2α+12+14cos2α+34sin2α-34sin2α-14(1-cos2α)=1-14cos2α-14+14cos2α=34.