物理:弹簧串并联劲度系数k的推导及应用(一)在A-level物理AS考试中,我们有时会见到对弹簧串并联系统的考核。例如2005年春季的选择题20题:此题已知条件中给出了弹簧的三种组合方式XYZ,在悬挂重物之后,需要将弹簧的总伸长量从小到大来排列。遇到这类题目,我们第一时间想到的,就是与弹簧类问题联系密切的胡克定律(Hooke’sLaw)F=kx.Hooke’slaw:Theextensionproducedinanobjectisproportionaltotheforceproducingit,providedtheelasticelimitisnotexceeded.这里面F是对弹簧施加的load,x则是弹簧的伸长量(extension),而k就是弹簧的劲度系数(forceconstantorspringconstant)了。如果是单个弹簧悬挂重物的系统,那么无论是求弹簧的伸长量x,还是求弹簧的劲度系数k,都很简单,无非就是对公式变形,再带入已知量,求未知量的过程。如果是类似上面题目的由若干弹簧串并联组合而成的系统,题目的难度就上了一个层次。但是掌握了弹簧串并联系统劲度系数的公式之后,此类问题将迎刃而解。当两弹簧串联时,总劲度系数k=k1k2k1+k2当两弹簧并联时,总劲度系数k=k1+k2注意,劲度系数的求法与电学中计算总电阻的公式正好相反!同学们记住这一条就能很好的记忆上述公式。扩展开来,在遇到多个弹簧串并联时,总劲度系数分别为:串联:1k=1k1+1k2+…并联:k=k1+k2+…那么上述公式是如何得出的呢,CIE教材里面并未给出具体的推导过程。如果同学们对弹簧系统进行仔细的受力分析,不难得出:弹簧1和2在串联时:弹簧的总伸长量为所有弹簧伸长量之和,即x=x1+x2.假设弹簧受到拉力F,弹簧1伸长x1=F/k1,弹簧2伸长x2=F/k2,则总伸长x=F/k1+F/k1,新的劲度系数k=F/x=1/(1/k1+1/k2),整理可得1/k=1/k1+1/k2弹簧1和2在并联时:弹簧的load被各个子弹簧分摊。假设两根弹簧的伸长量是x,则受力F=k1*x+k2*x,而F=kx,故新的劲度系数k=k1+k2回到上面的题目,题目中说各个子弹簧是similar的,即可以理解为它们的劲度系数k相等。对于X来说,此系统由两个弹簧并联组成,故总劲度系数Kx=k+k=2k对于Y来说,此系统是由两个并联弹簧再与两个并联弹簧串联组成的,两个并联弹簧的劲度系数我们已经知道是2k,那么总劲度系数1/Ky=1/2k+1/2k故Ky=k对于Z来说,此系统是由两个并联弹簧再与一个弹簧串联组成的,总总劲度系数1/Kz=1/2k+1/k故Kz=23k由此,我们得到KxKyKz,由于F=kx,而三个系统X,Y,Z均悬挂了相同的load,故F相同,所以k与伸长量x成反比,XxXyXz系统X的伸长量最小,系统Z的伸长量最大,选项A为正确答案。下面是08年秋季的21题,跟上面的题目非常类似,同学们自己动手算一下,以巩固刚刚讲的公式:系统的劲度系数在之前的题目中已经求解过,同学们只需计算D系统的劲度系数,在与其他三个进行比较即可。注意此题问的是最大伸长量,而不是最大的劲度系数。正确答案为C。