6.4多元函数微分法的应用

6．4多元函数微分法的应用6．4．1微分在几何上的应用1．空间曲线的切线和法平面设空间曲线的参数方程为：)(),(),(twztytx这里假定)(),(),(twtt都在],[上可导。在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0y0z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+xy0+yz0+z)作曲线的割线MM0其方程为zzzyyyxxx000当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线考虑tzzztyyytxxx000当MM0即t0时得曲线在点M0处的切线方程为)()()(000000tzztyytxx曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量向量T((t0)(t0)(t0))就是曲线在点M0处的一个切向量法平面通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面其法平面方程为(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0例1：求曲线23421,31,41tztytx的平行于平面023zyx的切线方程。解：曲线上任一点处的切向量tttT,,23，平面的法向量2,3,1n，由题设条件有：nT，即0nT，故2,3,1,,23ttt=02323ttt，解得2,1,0t。对应01t的点)0,0,0(1M有切向量0,0,01T，由于切向量须为非零向量，故无意义舍去；对应12t的点)21,31,41(2M有切向量1,1,12T，此时切线方程为121131141zyx对应23t的点)2,38,4(3M有切向量2,4,83T，此时切线方程为1223844zyx讨论：1若曲线的方程为：y(x)z(x)，问其切线和法平面方程是什么形式提示：曲线方程可看作参数方程xxy(x)z(x)切向量为T(1(x)(x))2若曲线的方程为：F(xyz)0G(xyz)0问其切线和法平面方程又是什么形式提示：两方程确定了两个隐函数y(x)z(x)曲线的参数方程为xxy(x)z(x)由方程组00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx可解得dxdy和dxdz切向量为),,1(dxdzdxdyT例2：求曲线06222zyxzyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程。解：为求切向量将所给方程的两边对x求导数得010222dxdzdxdydxdzzdxdyyx解方程组得zyxzdxdyzyyxdxdz在点(121)处0dxdy1dxdz从而T(101)所求切线方程为：110211zyx法平面方程为：(x1)0(y2)(z1)0即xz0另解：为求切向量将所给方程的两边对x求导数得010222dxdzdxdydxdzzdxdyyx方程组在点(121)处化为：112dxdzdxdydxdzdxdy解方程组得0dxdy1dxdz从而T(101)所求切线方程为：110211zyx法平面方程为：(x1)0(y2)(z1)0即xz02．曲面的切平面与法线设曲面的方程为：F(xyz)0M0(x0y0z0)是曲面上的一点并设函数F(xyz)的偏导数在该点连续且不同时为零在曲面上通过点M0任意引一条曲线假定曲线的参数方程式为)(),(),(twztytxtt0对应于点M0(x0y0z0)且(t0)(t0)(t0)不全为零曲线在点的切向量为T((t0)(t0)(t0))考虑曲面方程F(xyz)0两端在tt0的全导数Fx(x0y0z0)(t0)Fy(x0y0z0)(t0)Fz(x0y0z0)(t0)0引入向量n(Fx(x0y0z0)Fy(x0y0z0)Fz(x0y0z0))易见T与n是垂直的因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线它们在点M0的切线都与同一向量n垂直所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上这个平面称为曲面在点M0的切平面这切平面的方程式是Fx(x0y0z0)(xx0)Fy(x0y0z0)(yy0)Fz(x0y0z0)(zz0)0曲面的法线通过点M0(x0y0z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量向量n(Fx(x0y0z0)Fy(x0y0z0)Fz(x0y0z0))就是曲面在点M0处的一个法向量例3求曲面xzxyezz2123在点(120)处的切平面及法线方程。解：曲面方程改写为01223),,(xzxyezzyxFz则zyFx22，xFy2，xeFzz231在点（1,2,0）处有法向量0,2,4n，所求切平面方程为：0)2(2)1(4yx，即42yx；法线方程为01221zyx。讨论若曲面方程为),(yxfz，问曲面的切平面及法线方程式是什么形式提示此时F(xyz)f(xy)zn(fx(x0y0)fy(x0y0)1)例4求旋转抛物面zx2y21在点(214)处的切平面及法线方程解f(xy)x2y21n(fxfy1)(2x2y1)n|(214)(421)所以在点(214)处的切平面方程为4(x2)2(y1)(z4)0即4x2yz60法线方程为142142zyx例5：设函数),(vuF可微，试证曲面0),(czbyczaxF上任意点处的切平面都通过一定点。练习：求过直线120:zyxzyxL与曲面1:222zyx相切的平面方程。6．4．2多元函数的极值及最大值、最小值1．极值定义设函数),(yxfz在点(x0y0)的某个邻域内有定义如果对于该邻域内任何异于(x0y0)的点(xy)都有f(xy)f(x0y0)(或f(xy)f(x0y0))则称函数在点(x0y0)有极大值(或极小值)f(x0y0)极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点例1函数22yxz在点(00)处有极大值当(xy)(00)时z0而当(xy)(00)时z0因此z0是函数的极大值例2函数zxy在点(00)处既不取得极大值也不取得极小值因为在点(00)处的函数值为零而在点(00)的任一邻域内总有使函数值为正的点也有使函数值为负的点以上关于二元函数的极值概念可推广到n元函数设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义如果对于该邻域内任何异于P0的点P都有f(P)f(P0)(或f(P)f(P0))则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)定理1(必要条件)设函数),(yxfz在点(x0y0)具有偏导数且在点(x0y0)处有极值则有fx(x0y0)0fy(x0y0)0证明不妨设),(yxfz在点(x0y0)处有极大值依极大值的定义对于点(x0y0)的某邻域内异于(x0y0)的点(xy)都有不等式f(xy)f(x0y0)特殊地在该邻域内取yy0而xx0的点也应有不等式f(xy0)f(x0y0)这表明一元函数f(xy0)在xx0处取得极大值因而必有fx(x0y0)0类似地可证fy(x0y0)0从几何上看这时如果曲面zf(xy)在点(x0y0z0)处有切平面则切平面zz0fx(x0y0)(xx0)fy(x0y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0类似地可推得如果三元函数uf(xyz)在点(x0y0z0)具有偏导数则它在点(x0y0z0)具有极值的必要条件为fx(x0y0z0)0fy(x0y0z0)0fz(x0y0z0)0仿照一元函数凡是能使fx(xy)0fy(xy)0同时成立的点(x0y0)称为函数zf(xy)的驻点注：（i）从定理1可知具有偏导数的函数的极值点必定是驻点但函数的驻点不一定是极值点。如上例2函数zxy在点(00)处的两个偏导数都存在等于零，但函数在(00)既不取得极大值也不取得极小值。（ii）偏导数不存在的点也可能是函数的极值点。如上例1，函数在点)0,0(的偏导数不存在，但函数22yxz在点)0,0(处取得极大值。定理2(充分条件)设函数),(yxfz在点(x0y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数又fx(x0y0)0fy(x0y0)0令fxx(x0y0)Afxy(x0y0)Bfyy(x0y0)C则f(xy)在(x0y0)处是否取得极值的条件如下(1)ACB20时具有极值且当A0时有极大值当A0时有极小值(2)ACB20时没有极值(3)ACB20时可能有极值也可能没有极值极值的求法第一步解方程组fx(xy)0fy(xy)0求得一切实数解即可得一切驻点第二步对于每一个驻点(x0y0)求出二阶偏导数的值A、B和C第三步定出ACB2的符号按定理2的结论判定f(x0y0)是否是极值、是极大值还是极小值例3：求函数22442),(yxyxyxyxf的极值。解解方程组0224),(0224),(33yxyyxfyxxyxfyx解得驻点为)1,1(1P，)1,1(2P，)0,0(3P。再求出二阶偏导数212),(2xyxfxx，2),(yxfxy，212),(2yyxfyy在点)1,1(1P处有096)2(101022BAC，又010A，故2)1,1(f为极小值；在点)1,1(2P处有096)2(101022BAC，又010A，故2)1,1(f为极小值；在点)0,0(3P处有0)2()2()2(22BAC，定理2失效，此时可根据极值的定义来判别，即讨论函数在点)0,0(附近的取值情况。在点)0,0(的某个邻域内，若令0y则有)1(0)1()0,(22xxxxf，若令xy则有02),(4xxxf，因而)0,0(3P不是极值点。例4：求yyyexezcos)1(的极值点和极值。解：解方程组0)1(cos),(0sin)1(),(yyyxeyxyxzxeyxz，得驻点)0,2(1kP，)2,)12((2kP（k为整数）。二阶偏导数xeyxzyxxcos)1(),(，xeyxzyxysin),(，yyyeyxyxz)2(cos),(对)0,2(1kP有022BAC，且02A，故)0,2(1kP为极大值点，极大值为2；对)2,)12((2kP有0)1(222eeBAC，故)