A4-1-4-2不定积分概念,换元积分法-wrm.

14-1不定积分的概念与性质2不定积分与导数•求导的反问题----•寻找一个可导函数，使它的导函数等于已知的函数。3例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.如果在区间I内，定义1：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.一、原函数与不定积分的概念4原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例xxcossinxCxcossin（为任意常数）C那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.(2)若不唯一它们之间有什么联系？5关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（为任意常数）C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C6任意常数积分号被积函数定义2:不定积分的定义在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.7例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx8例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy9函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)(])([dxxfdxxfd,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.10•微分和积分是互为逆运算.•先算不定积分后求导,则它们相互抵消,•反之先微分再不定积分,则抵消后相差一个常数.[()]()()()fxdxfxdfxdxfxdx()()()()fxdxfxCdfxfxC11f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线xxfd)(的图形f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族yxo0x12例4下列各函数是同一函数的原函数吗?.cos21,2cos41,sin2122xxx分析:因为同一函数的原函数之差是一常数,观察三个三角函数，有可能都化成cosx的形式。1cossin22xx参考三角形互化公式2222sin211cos2sincos2cos请同学们自己化简看看!132221111sin(1cos)cos2222xxx221111cos2(2cos1)cos4424xxx22111sin,cos2,cos.242xxx是同一函数的原函数.例4下列各函数是同一函数的原函数吗?.cos21,2cos41,sin2122xxx解：14结论所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致,但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数15实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表16基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdxpage18817dxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCx18xdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxshxdx)14(;Cchxxdxcosh)15(;sinhCx19例5求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx1120dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf证)()(dxxgdxxf)()(dxxgdxxf).()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质21dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k推论若fi(x)(i=1,2,...n)在公共区间I上都有原函数,且ki为常数,则11[()()nniiiiiikfxdxkfxdx22例5求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C每一项独立运用积分公式23例6求积分解.)1(122dxxxxxdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx提示：拆项写成和24例7求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx提示：拆项写成和25例8求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.用三角形倍角公式化简26例10设p(x)=a0+a1x+...+anxn,求∫p(x)dx解:01()(...)nnpxdxaaxaxdx例11223()axdx2110...21nnaaaxxxCn01..nnadxaxdxaxdx764325357xaxaxaxC642246(33)aaxaxxdx2728课堂练习：求下列积分2、211(103sin)xxdxxx1、4211xdxx4、2(1)xdxxx3、2()tgxxdx5、2(2seccsc)22xxdx6、2(2)xxedx练习已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.29323xxarctgxC1、2、211(103sin)xxdxxx4211xdxx222(1)1xdxx1013cos2ln10xxxCx课堂练习303、3223tgxxxC4、2(1)xdxxx2()tgxxdx12221coscosxdxxdxx3222sec3xdxx3112222423xxxC113222(2)xxxdx23221xxdxx315、2(2seccsc)22xxdx6、2(2)xxedx211142(2)2ln2ln212xxxeeC242(2)xxxdxedxedx21616sindxctgxCx224cossin22dxxx32练习已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxy33思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(34思考题解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.35基本积分表(page188熟记)不定积分的性质原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系四、小结36作业•习题4-1page192•1.（3）（6）•2.（5）（6）（12）（16）（19）（22）•5.37Review38填空1、一个已知的函数，有_________个原函数，其中任意两个的差是一个_________；2、)(xf的_____________称为)(xf的不定积分；3、把)(xf的一个原函数)(xF的图形叫做函数)(xf的________，它的方程是)(xFy，这样不定积dxxf)(在几何上就表示________，它的方程是CxFy)(；**回顾练习答案：1、无穷多,常数；答案：2、全体原函数；答案：3、积分曲线,积分曲线族；394、由)()('xfxF可知，在积分曲线族CxFy)()(是任意常数C上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的；5、若)(xf在某区间上__________，则在该区间上)(xf的原函数一定存在；答案：4、平行；答案：5、连续；40基本积分公式表⑴∫dx＝x＋C⑵∫xαdx＝(α≠-1)⑶⑷⑸∫exdx＝ex＋C⑹∫sinxdx＝－cosx＋C⑺∫cosxdx＝sinx＋C⑻∫sec2xdx＝tanx＋C⑼∫csc2xdx＝－cotx＋C⑽⑾Cx111Cxdxx||ln1CaadxaxxlnCaxdxxaarcsin122Caxdxxaarctan12241练习（1）（2）（1）42练习（2）434-2换元法积分44作业•习题4-2page207•2.（5）（7）（12）（18）（21）（37）（44）45问题xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx一、第一类换元法46在一般情况下：设),()(ufuF则.)()(CuFduuf如果)(xu（可微）dxxxfxdF)()]([)]([CxFdxxxf)]([)()]([)(])([xuduuf由此可得换元法定理47设)(uf具有原函数，dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将dxxg)(化为.)()]([dxxxf观察重点不同，所得结论不同.)(xu可导，则有换元公式定理148例1求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）