6导数在研究函数中的应用

普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社导数在研究函数中的应用普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社函数在某点处的导数的几何意义为函数图象在该点处切线的斜率，它量化了曲线经过该点时上升或下降的“变化趋势”．因此函数的导数刻画了可导函数在整个定义域内的变化的趋势(上升或下降的陡峭程度)，而函数的单调性也可以刻画函数的此种性质．那么导数与函数的单调性有什么联系？普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社结论:由函数的图象观察，当函数的图象上升时，各点处切线的斜率或增大或减小，但均为正值；而当函数的图象下降时，各点处切线的斜率则均为负值．如果函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，那么对任意x1，x2∈(a，b)，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，即x1－x2与f(x1)－f(x2)两式同号，因此f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，即ΔyΔx＞0．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社数学理论一般的，设可导函数y＝f(x)，如果在某区间上f’(x)＞0，那么函数f(x)为该区间上的单调增函数；如果f’(x)＜0，那么函数f(x)为该区间上的单调减函数．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社数学应用请借助于导数说明下列函数的单调性：1．函数y＝x2；2．函数y＝2x＋1．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社例1利用函数的导数确定函数f(x)＝x2－4x＋3的单调增、减区间．例2确定函数的f(x)＝2x3－6x2＋7的单调区间．例3确定函数f(x)＝sinx，x∈[0，2]的单调区间．例4确定函数y＝1x的单调区间．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社例5已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1是R上的单调减函数，求实数a的取值范围．例6已知函数f(x)＝ax与g(x)＝－bx在区间(0，＋∞)内均为单调减函数，确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社作业：Ｐ29练习3，Ｐ34习题2．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社极大值与极小值普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社观察图象，不难发现，函数图象在P点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调增变为单调减）．在P点附近，P点的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大．我们称f(x1)为函数的一个极大值，相应地，称x1为函数的极大值点．类似地，图中f(x2)为函数的一个极小值，x2为函数的极小值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为函数极值点．yxOax1by=f(x)P(x1,f(x1))x2普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社例1求函数f(x)＝x2－x－1的极值．例4已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1．例2求函数f(x)＝13x3－4x＋13的极值．例3求函数f(x)＝x＋1x的极值．例5研究函数y＝｜x｜的极小值和此时的导数．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社小结：1．对可导函数而言，导数为零的点是该点为极值点的条件．必要不充分①求f’(x)＝0，解得x＝x0；②列表判断函数在x＝x0两侧的单调性；③判断极值点，并求极值．2．求极值的步骤：普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社3．函数的极值是函数的局部性概念，体现了函数在某一点附近的情况，极值点是区间内部的点，而不是区间的端点；且极大值与极小值没有必然的大小关系．4．一般的，当函数f(x)在某个区间上连续且有有限个极值点时，函数的极大、极小值点时交替出现的．xax1x2x3x4x5b普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社作业：1．Ｐ31练习1．2．Ｐ34习题3．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社最大值与最小值普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社函数f(x)在x0处取极大值，是指在x0附近f(x0)比其它函数值都大，极大值是相对函数定义域内某一局部而言的．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值．同样的，极小值也是研究函数在定义域内的某一局的性质．如果存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)≤f(x0)，最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，则最大值惟一．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社观察函数y=f(x)，x[a，b]的图象：f(x2)，f(x4)是极大值，而函数的最大值是f(b)．类似地，f(x1)，f(x3)，f(x5)是极小值，而函数的最小值是f(x3)．xax1x2x3x4x5b普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社函数是否一定有最大值，最小值？最值一般出现在哪里？如何求函数的最值？求函数最值的步骤：①求函数的极值；②求函数端点处的函数值f(a)，f(b)；③比较极值与端点值f(a)，f(b)，求出函数的最值．最值出现在极值点，或区间的端点处．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社例1求f(x)＝x2－4x＋3在区间[－1，4]上的最值．例2求f(x)＝x＋sinx在区间[0，2]上的最值．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社1．函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续，且函数单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为_____，最小值为_______．2．函数f(x)＝x3－3x＋a，当x∈[－，]时，函数f(x)的最小值为1，则a的值为．3．若函数f(x)＝x3－3x＋a在区间[0，3]上的最大值与最小值分别为M，N，则M－N的值为．4．对任意x，均有f’(x)＝4x3，且f(x)在[0，1]上的最大值为－1，则函数f(x)解析式为．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社作业：1．Ｐ33练习2，3．2．Ｐ34习题4．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社1．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)＝0有三个根，它们分别为m，2，n．（1）求c的值；（2）求证：f(1)≥2；（3）求|m－n|的取值范围．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社2．设t≠0，点P（t，0）是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（1）用t表示a，b，c；（2）若函数y＝f(x)－g(x)在（－1，3）单调递减，求t的取值范围．普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2－1)第3章空间向量与立体几何江苏教育出版社