1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值整体设计教学分析在研究函数的性质时,单调性和最值是一个重要内容.实际上,在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本小节内容,正是初中有关内容的深化和提高:给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的,还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法,又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想,用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体,因此,在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境,以利于学生作函数图象,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程,以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数单调性的步骤,会求函数的单调区间,提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例,使学生体会、理解到函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.课时安排2课时设计方案(一)教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(HermannEbbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.时间间隔t0分钟20分钟60分钟8~9小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(可以借助信息技术画图象)图1-3-1-1学生:先思考或讨论,回答:记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.教师提示、点拨,并引出本节课题.思路2.在第23届奥运会上,中国首次参加就获15枚金牌;在第24届奥运会上,中国获5枚金牌;在第25届奥运会上,中国获16枚金牌;在第26届奥运会上,中国获16枚金牌;在第27届奥运会上,中国获28枚金牌;在第28届奥运会上,中国获32枚金牌.按这个变化趋势,2008年,在北京举行的第29届奥运会上,请你预测一下中国能获得多少枚金牌?学生回答(只要大于32就可以算准确),教师:提示、点拨,并引出本节课题.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x,二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?图1-3-1-2②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?③如何理解图象是上升的?④对于二次函数y=x2,列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.x-4-3-2-101234f(x)=x2表(1)⑤在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?⑥增函数的定义中,把“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”改为“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”,这样行吗?⑦增函数的定义中,“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?⑧增函数的几何意义是什么?⑨类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?⑩函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.④在区间(0,+∞)上,任取x1、x2,且x1x2,那么就有y1y2,也就是有f(x1)f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.⑤一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.⑥可以.增函数的定义:由于当x1x2时,都有f(x1)f(x2),即都是相同的不等号“”,也就是说前面是“”,后面也是“”,步调一致;“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“”,也就是说前面是“”,后面也是“”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.⑧从左向右看,图象是上升的.⑨一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数.减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小.总结:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数),那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递增(或减)区间.⑩函数y=f(x)在区间D上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.应用示例思路1例1如图1-3-1-3是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?图1-3-1-3活动:教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数,图象下降则在此区间上是减函数.解:函数y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是第一步:画函数的图象;第二步:观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练课本P32练习1、3.例2物理学中的玻意耳定律p=Vk(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明.活动:学生先思考或讨论,再到黑板上书写.当学生没有证明思路时,教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题,并标出关键的地方,以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时,压强p将增大是指函数p=Vk是减函数;刻画体积V减少时,压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时,常用单调性的定义来解决.解:利用函数单调性的定义只要证明函数p=Vk在区间(0,+∞)上是减函数即可.点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步:在所给的区间上任取.两个自变量x1和x2,通常令x1x2;第二步:比.较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步:再.归纳结论.定义法的步骤可以总结为:一“取(去.)”、二“比.”、三“再(赛.)”,因此简称为:“去比赛...”.变式训练课本P32练习4.思路2例1(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象;(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;(3)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.图1-3-1-4解:(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.(2)设x1、x2∈(-∞,1],且x1x2,则有f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)=(x22-x12)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).∵x1、x2∈(-∞,1],且x1x2,∴x1-x20,x1+x22.∴2-x1-x20.∴f(x1)-f(x2)0.∴f(x1)f(x2).∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数.(3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1].点评:本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时,常用数形结合的方法,结合二次函数图象的特点来分析;二次函数在对称轴两侧的单调性相反;二次函数在区间D上是单调函数,那么二次函数的对称轴不在区间D内.判断函数单调性时,通常先画出其图象,由图象观察出单调区间,最后用单调性的定义证明.判断函数单调性的三部曲:第一步,画出函数的图象,观察图象,描述函数值的变化趋势;第二步,结合图象来发现函数的单调区间;第三步,用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一些问题,会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切,是高考命题的热点题型.变式训练已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(2a,0)成中心对称图形.活动:(1)本题中的函数解析式不明确即为抽象函数,用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写;(2)证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(2a,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.解:(1)设x1、x2∈R,且x1x2.则F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)].又∵函数f(x)是R上的增函数,x1x2,∴a-x2a-x2.∴f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1