72定积分存在的条件

第1页共2页龙岩学院数计院§7.2定积分存在的条件一定积分存在的充分必要条件定义1设函数fx在,ab有界，在,ab插入分点bxxxxxann1210把,ab分成n个小区间1,iixx1,2,...,in，记111sup,inf,iiiiiiiiiMfxxxxmfxxxxxxx作和式1niiiSMx1niiiSmx分别成为对于这一分法的达布上和达布下和。要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。定理1（定积分存在的第一充分必要条件）函数)(xf在],[ba上可积的充分必要条件是00limlimSS。注：定理1也可叙述为函数)(xf在],[ba上可积的充分必要条件是0lim0SS。例：证明1,1xfxx为有理数，，为无理数在11，不可积，但fx可积。定义2记iiimM，称之为)(xf在ix上的幅度，则有1niiiSSx。第2页共2页龙岩学院数计院注：定理1也可叙述为函数)(xf在],[ba上可积的充分必要条件是01lim0niiix。定理2（定积分存在的第二充分必要条件）函数)(xf在],[ba上可积的充分必要条件是对任意的两个正数及0，可找到0，使当任一分法满足maxix时，对应于幅度'i的那些区间的长度'ix之和''iix。注：定理揭示了可积函数的本质，表明可积函数不连续的范围不能太广。二可积函数类定理3若函数)(xf为],[ba上的连续函数，则)(xf在],[ba上可积。定理4若)(xf是区间],[ba上只有有限个第一类不连续点的有界函数，则)(xf在],[ba上可积。定理5若)(xf是区间],[ba上的单调函数，则)(xf在],[ba上可积。注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。例：试用两种方法证明函数,2,1,111,10,0)(nnxnnxxf在区间]1,0[上可积。