7七年级下册第6章因式分解4几乎所有方法添项等

杭州学勤教育咨询有限公司因式分解的方法教学内容：因式分解方法1.提取公因式法：例：将2x3n20x2ny3+50xny6分解因式.解：原式=2xn(x2n10xny3+25y6)=2xn(xn5y3)22.公式法：a2b2=(ab)(a+b)a2±2ab+b2=(a±b)2a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)例：64x6y12解：原式=(8x3+y6)(8x3y6)=(2x+y2)(4x22xy2+y4)(2xy2)(4x2+2xy2+y4)3.分组分解法：例：(am+bn)2+(anbm)2+c2m2+c2n2解：原式=a2m2+b2n2+2abmn+a2n2+b2m22abmn+c2m2+c2n2=a2m2+b2n2+a2n2+b2m2+c2(m2+n2)=(m2+n2)(a2+b2+c2)4.十字相乘法：例：12x2+10xy12x+5y-9解：原式=12x2+(10y12)x+5y-92x16x5y9∴原式=(2x+1)(6x+5y9)5.拆添辅助项法：例：分解因式x3+3x24解：把4拆成（1）＋（3）.原式=x3+3x213=(x31)+3(x21)=(x1)(x2+x+1)+3(x1)(x+1)=(x1)(x2+4x+4)=(x1)(x+2)26.配方法:例：将x4+y4+z42x2y22x2z22y2z2分解因式。解：原式=(x4+2x2y2+y4)2(x2+y2)z2+z44x2y2=[(x2+y2)22(x2+y2)z2+z4]4x2y2=(x2+y2z2)2(2xy)2=(x2+y2z2+2xy)(x2+y2z22xy)=[(x2+y2)2z2][(x2y2)2z2]=(x2+y2+z)(x2+y2z)(x2y2+z)(x2y2z)7.换元法:例：(x2+3x2)(x2+3x+4)16解：令x2+3x=y则原式=(y2)(y+4)16=y2+2y24=(y+6)(y4)杭州学勤教育咨询有限公司=(x2+3x+6)(x2+3x4)=(x2+3x+6)(x+4)(x1)8.待定系数法：例：分解因式x2+2xy8y2+2x+14y3解：∵x2+2xy8y2=(x2y)(x+4y)∴设原式=(x2y+m)(x+4y+n)=x2+2xy-8y2+(m+n)x+(4m2n)y+mn比较系数得：m+n=24m2n=14解得:m=3mn=3n=1∴原式=(x2y+3)(x+4y1)分组分解因式的几种常用方法．1．按公因式分解例1分解因式7x2-3y+xy+21x．分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x-3)，解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．2．按系数分解例2分解因式x3+3x2+3x+9．分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．3．按次数分组例3分解因式m2+2m·n-3m-3n+n2．分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．解：原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．4．按乘法公式分组分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．杭州学勤教育咨询有限公司5．展开后再分组例5分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．分析：将括号展开后再重新分组．解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．6．拆项后再分组例6分解因式x2-y2+4x+2y+3．分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．7．添项后再分组例7分解因式x4+4．分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)二、用换元法进行因式分解用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．例8分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了．解：令y=x2+3x，则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．三、用求根法进行因式分解例9分解因式x2+7x+2．分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．杭州学勤教育咨询有限公司四、用待定系数法分解因式．例10分解因式x2+6x-16．分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解．解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．活用配方法分解因式应用配方法分解因式，常能将多项式配成22NM的形式并应用开方差公式分解。例1分解因式86129422baba分析第一、三项，第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式，进而两者又构成一平方差，因此拆常数项198即可。解：原式)169()9124(22bbaa)432)(232()13()32(22bababa例2分解因式4224nnmm分析此式中各项均为平方式，可采用添项法将式中某一部分配方，构造平方差公式。解：原式224224)2(nmnnmm杭州学勤教育咨询有限公司2222)()(mnnm))((2222mnnmmnnm例3分解因式)2)(2()(22nmmntnmt分析将多项式中前两项tnmt)(22进行配方，添上22)()(nmnm即可分组分解。解：原式)2)(2()()()(2222nmmnnmnmtnmt]4)(2)[()]([2222mnnmmnnmnmnmt)2)(2()()(])()(2)[()(22222mnmtmnntmnnmnmtmnmnnmnmnmt例4分解因式42224)()()(bababa分析：此题中只含ba和ba两个式子，可分别运用和差换元后再考虑配方。解：设tbasba，，则原式2242244224)2(tsttssttss)])(()())][()(()()[())(()()(222222222222babababababababasttssttsstts)3)(3(2222baba例5分解因式24222)1()1(2)1(babab分析此多项式首末两项是完全平方式，可考虑对其进行配方。解：原式)1()1(2)1(2])1()1()1(2)1[(2222422babbabababb杭州学勤教育咨询有限公司)1)(1)(1)(1()]1)(1()1)][(1)(1()1[()]1()1)][(1()1[()21)(21()2()1()]1()1[(2)]1()1[(2222222222222222222babaababaaaabaaabaabaabaabbaaabbaaabbaabbabab例6分解因式444)(nmnm分析将4)(nm化为222)2(nmnm，再将44nm化为222222)(nmnm，创造用完全平方公式分解因式的条件，便可达到将原式分解因式的目的。解：原式22224224])[(2)2(nmnmnnmm22222222222222222222222222222)(2])()(2)[(24)(4)(2)()2(2)(mnnmmnmnnmnmnmnmmnnmnmnmnmnmnmnm因式分解是代数中的重要内容，在学习中如何进行小结与复习？一．按照“一提、二公式、三分组、四检查”的步骤，效果良好。2．从多项式的项数分析，除提取公因式法外，①若多项式是两项式，可能用什么方法？(答：平方差、立方和、立方差公式．)②若多项式是三项的可能用什么方法？(答：完全平方公式或十字相乘法．)③四项以上的多项式用什么方法？(答：分组分解法．)杭州学勤教育咨询有限公司课后练习1、填空题（1）如果（－1－b）·M＝b2－1，则M＝_______．（2）若x2＋ax＋b可以分解成（x＋1）（x－2），则a＝_______，b＝_______．（3）若9x2＋2（m－4）x＋16是一个完全平方式，则m的值为_______．（4）分解因式a2（b－c）－b＋c＝_______．（5）分解因式xy－2y－2＋x＝_______．（6）在实数范围内分解因式x3－4x＝_______．3、把下列各式分解因式（1）4x（a－b）＋（b2－a2）；（2）（a2＋b2）2－4a2b2；（3）x4＋2x2－3；（4）（x＋y）2－3（x＋y）＋2；（5）x3－2x2－3x；（6）4a2－b2＋6a－3b；